Question

（20分）2008年12月，天文學(xué)家們通過(guò)觀測(cè)的數(shù)據(jù)確認(rèn)了銀河系中央的黑洞“人馬座A*”的質(zhì)量與太陽(yáng)質(zhì)量的倍數(shù)關(guān)系。研究發(fā)現(xiàn)，有一星體S2繞人馬座A*做橢圓運(yùn)動(dòng)，其軌道半長(zhǎng)軸為9.5010²天文單位（地球公轉(zhuǎn)軌道的半徑為一個(gè)天文單位），人馬座A*就處在該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。觀測(cè)得到S2星的運(yùn)行周期為15.2年。

(1)     若將S2星的運(yùn)行軌道視為半徑r=9.5010²天文單位的圓軌道，試估算人馬座A*的質(zhì)量M_A是太陽(yáng)質(zhì)量M_s的多少倍(結(jié)果保留一位有效數(shù)字)；

(2)     黑洞的第二宇宙速度極大，處于黑洞表面的粒子即使以光速運(yùn)動(dòng)，其具有的動(dòng)能也不足以克服黑洞對(duì)它的引力束縛。由于引力的作用，黑洞表面處質(zhì)量為m的粒子具有勢(shì)能為E_p=-G(設(shè)粒子在離黑洞無(wú)限遠(yuǎn)處的勢(shì)能為零)，式中M、R分別表示黑洞的質(zhì)量和半徑。已知引力常量G=6.710^-11N?m²/kg²，光速c=3.010⁸m/s，太陽(yáng)質(zhì)量M_s=2.010³⁰kg，太陽(yáng)半徑R_s=7.010⁸m，不考慮相對(duì)論效應(yīng)，利用上問(wèn)結(jié)果，在經(jīng)典力學(xué)范圍內(nèi)求人馬座A*的半徑R_A與太陽(yáng)半徑之比應(yīng)小于多少（結(jié)果按四舍五入保留整數(shù)）。

Answer 1

（1），（2）

解析：本題考查天體運(yùn)動(dòng)的知識(shí)。其中第2小題為信息題，如“黑洞”“引力勢(shì)能”等陌生的知識(shí)都在題目中給出，考查學(xué)生提取信息，處理信息的能力，體現(xiàn)了能力立意。

（1）S2星繞人馬座A^*做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由人馬座A^*對(duì)S2星的萬(wàn)有引力提供，設(shè)S2星的質(zhì)量為m_S2，角速度為ω，周期為T，則

                                                   ①

                                                               ②

設(shè)地球質(zhì)量為m_E，公轉(zhuǎn)軌道半徑為r_E，周期為T_E，則

                                                    ③

綜合上述三式得

 

    式中         T_E=1年                                               ④

                 r_E=1天文單位                                         ⑤

    代入數(shù)據(jù)可得

                                                          ⑥

（2）引力對(duì)粒子作用不到的地方即為無(wú)限遠(yuǎn)，此時(shí)料子的勢(shì)能為零�！疤幱诤诙幢砻娴牧Ｗ蛹词挂怨馑龠\(yùn)動(dòng)，其具有的動(dòng)能也不足以克服黑洞對(duì)它的引力束縛”，說(shuō)明了黑洞表面處以光速運(yùn)動(dòng)的粒子在遠(yuǎn)離黑洞的過(guò)程中克服引力做功，粒子在到達(dá)無(wú)限遠(yuǎn)之前，其動(dòng)能便減小為零，此時(shí)勢(shì)能仍為負(fù)值，則其能量總和小于零，則有

                                                        ⑦

依題意可知

                 ，

可得

                                                            ⑧

代入數(shù)據(jù)得

                                                         ⑨

                                                                 ⑩