Question

17．地球兩極的重力加速度為g₀，赤道處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T(mén)，由于某種原因，假設(shè)地球自轉(zhuǎn)加快，赤道處的重力加速度變化了10%．求地球自轉(zhuǎn)加快后的周期．

Answer 1

分析 質(zhì)量為m的物體在兩極所受地球的引力等于其所受的重力，在赤道的物體所受地球的引力等于其重力和向心力的矢量和，根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律列式后聯(lián)立求解即可．

解答 解：物體在地球兩極時(shí)：$m{g}_{0}^{\;}=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
赤道處：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}-mg=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
假設(shè)地球自轉(zhuǎn)加快，隨地自轉(zhuǎn)的向心力增大，赤道處的重力加速度減小，為：
g′=（1-10%）g=0.9g
自轉(zhuǎn)加快后，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}-mg′=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{′2}}R$
聯(lián)立得：$\frac{{g}_{0}^{\;}-g}{{g}_{0}^{\;}-0.9g}=\frac{{T}_{\;}^{′2}}{{T}_{\;}^{2}}$
解得：$T′=\sqrt{\frac{{g}_{0}^{\;}-g}{{g}_{0}^{\;}-0.9g}}T$
答：地球自轉(zhuǎn)加快后的周期為$\sqrt{\frac{{g}_{0}^{\;}-g}{{g}_{0}^{\;}-0.9g}}T$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)到在赤道處的重力實(shí)為地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力減去物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力，掌握力的關(guān)系是正確解題的前提．