Question

如圖所示，在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)方向相反且都垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在以直徑A₂A₄為邊界的兩個(gè)半圓形區(qū)域Ⅰ、Ⅱ中，直徑A₂A₄與A₁A₃的夾角為60°．一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的粒子以某一速度從Ⅰ區(qū)的邊緣點(diǎn)A₁處沿與A₁A₃成30°角的方向射入磁場(chǎng)，隨后該粒子以垂直于A₂A₄的方向經(jīng)過圓心O進(jìn)入Ⅱ區(qū)，最后從A₄處射出磁場(chǎng)．已知該粒子從射入到射出磁場(chǎng)所用的時(shí)間為t．（忽略粒子重力）．
（1）求粒子在Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)中的速度偏角φ₁和φ₂
（2）求Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)中磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B₁和B₂．

Answer 1

分析：由題意可知粒子在兩磁場(chǎng)中的轉(zhuǎn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系可知兩圓的半徑，則由洛侖茲力充當(dāng)向心力可列出方程；再根據(jù)在兩磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的圓心角可求得在兩磁場(chǎng)中的時(shí)間，則由兩粒子在兩磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間可列出關(guān)于時(shí)間的表達(dá)式，聯(lián)立可解得磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答：解：設(shè)粒子的入射速度為v，已知粒子帶正電，故它在磁場(chǎng)中先順時(shí)針做圓周運(yùn)動(dòng)，再逆時(shí)針做圓周運(yùn)動(dòng)，最后從A₄點(diǎn)射出，
用B₁、B₂、R₁、R₂、T₁、T₂分別表示在磁場(chǎng)Ⅰ區(qū)Ⅱ磁感應(yīng)強(qiáng)度、軌道半徑和周期qvB1=m

v2

R1

①
qvB2=m

v2

R2

②
T1=

2πR1

v

=

2πm

qB1

③
T2=

2πR2

v

=

2πm

qB2

④
設(shè)圓形區(qū)域的半徑為r，如答圖所示，已知帶電粒子過圓心且垂直A₃A₄進(jìn)入Ⅱ區(qū)磁場(chǎng)，
連接A₁A₂，△A₁OA₂為等邊三角形，A₂為帶電粒子在Ⅱ區(qū)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，
其半徑R₁=A₁A₂=OA₂=r⑤
圓心角∠A₁A₂O=60°，
所以粒子在Ⅰ區(qū)中的速度偏角φ₁為60°，
帶電粒子在Ⅰ區(qū)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1=

1

6

T1⑥
帶電粒子在Ⅱ區(qū)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心在OA₄的中點(diǎn)，即R=

1

2

r ⑦
所以粒子在Ⅱ區(qū)中的速度偏角φ₂為120°，
在Ⅱ區(qū)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t2=

1

2

T2⑧
帶電粒子從射入到射出磁場(chǎng)所用的總時(shí)間t=t₁+t₂⑨
由以上各式可得B1=

5

6

πM

qt

⑩B2=

5

3

πM

qt

故I區(qū)磁感應(yīng)強(qiáng)度為

5

6

πM

qt

；II區(qū)磁感應(yīng)強(qiáng)度為

5

3

πM

qt

．

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，一般可先確定圓心求出半徑，再由洛侖茲力充當(dāng)向心力及圓的性質(zhì)求解．