Question

17．如圖所示，在xOy平面內(nèi)，以O(shè)₁（0，R）為圓心、R為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁，x軸下方有一直線(xiàn)ab，ab與x軸相距為d，x軸與直線(xiàn)ab間區(qū)域有平行于y軸的勻強(qiáng)電場(chǎng)E，在ab的下方有一平行于x軸的感光板MN，ab與MN間區(qū)域有垂直于紙平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂．
在0≤y≤2R的區(qū)域內(nèi)，質(zhì)量為m、電荷量為e的電子從任何位置從圓形區(qū)域的左側(cè)沿x軸正方向以速度v₀射入圓形區(qū)域，經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)B₁偏轉(zhuǎn)后都經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，然后進(jìn)入x軸下方．已知x軸與直線(xiàn)ab間勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小E=$\frac{3mυ_0^2}{2ed}$，ab與MN間磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=$\frac{m{v}_{0}}{ed}$．不計(jì)電子重力．
（1）求圓形區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大��？
（2）若要求從所有不同位置出發(fā)的電子都不能打在感光板MN上，MN與ab板間的最小距離h₁是多大？
（3）若要求從所有不同位置出發(fā)的電子都能打在感光板MN上，MN與ab板間的最大距離h₂是多大？當(dāng)MN與ab板間的距離最大距離h₂時(shí)，求電子打到MN板上的位置到y(tǒng)軸的最遠(yuǎn)距離s．

Answer 1

分析 （1）抓住所有電子射入圓形區(qū)域后做圓周運(yùn)動(dòng)軌道半徑大小相等，根據(jù)幾何關(guān)系得出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑，結(jié)合半徑公式求出圓形區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)下方磁場(chǎng)的速度，根據(jù)半徑公式求出粒子的半徑，根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與水平方向的夾角，通過(guò)幾何關(guān)系求出MN與ab板間的最小距離．
（3）如果電子在O點(diǎn)沿x軸正方向射入電場(chǎng)，經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)和磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，能打在感光板上，則所有電子都能打在感光板上．根據(jù)幾何關(guān)系求出MN與ab板間的最大距離．
作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出電子打到MN板上的位置到y(tǒng)軸的最遠(yuǎn)距離s．

解答 解：（1）所有電子射入圓形區(qū)域后做圓周運(yùn)動(dòng)軌道半徑大小相等，由幾何關(guān)系，有：
r=R…①
由洛倫茲力提供向心力，有：$e{v}_{0}^{\;}{B}_{1}^{\;}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$…②
由①②得：${B}_{1}^{\;}=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{eR}$…③
（2）設(shè)電子經(jīng)電場(chǎng)加速后到達(dá)ab時(shí)速度大小為v，電子在ab與MN間磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為${r}_{1}^{\;}$，沿x軸負(fù)方向射入電場(chǎng)的電子離開(kāi)電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與水平方向成θ角，則有：
$eEd=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…④
${r}_{1}^{\;}=\frac{mv}{e{B}_{2}^{\;}}$…⑤
$cosθ=\frac{{v}_{0}^{\;}}{v}$…⑥
如果電子在O點(diǎn)以速度${v}_{0}^{\;}$沿x軸負(fù)方向射入電場(chǎng)，經(jīng)電場(chǎng)和磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，不能打在感光板上，則所有電子都不能打在感光板上，軌跡如圖，則感光板與ab間的最小距離為：
${h}_{1}^{\;}={r}_{1}^{\;}+{r}_{1}^{\;}cosθ$…⑦
由④⑤⑥⑦得：
$v=2{v}_{0}^{\;}$        ${r}_{1}^{\;}=2d$      θ=60°     h₁=3d…⑧
（2）如果電子在O點(diǎn)以速度${v}_{0}^{\;}$沿x軸正方向射入電場(chǎng)，經(jīng)電場(chǎng)和磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，能打在感光板上，則所有電子都能打在感光板上，軌跡如圖，則感光板與ab間的最大距離為：
${h}_{2}^{\;}={r}_{1}^{\;}-{r}_{1}^{\;}cosθ$…⑨
解得：${h}_{2}^{\;}=d$…⑩
當(dāng)感光板與ab間取最大距離${h}_{2}^{\;}=d$時(shí)，沿x軸正方向射入電場(chǎng)的電子打在感光板上的位置距y軸最遠(yuǎn)，電子在電場(chǎng)中有
沿${v}_{0}^{\;}$方向有：$x={v}_{0}^{\;}t$
垂直${v}_{0}^{\;}$方向有：$d=\frac{1}{2}\frac{eE}{m}{t}_{\;}^{2}$
由幾何關(guān)系，最遠(yuǎn)距離為：$s=x+{r}_{1}^{\;}sinθ$
由以上各式得：$s=\frac{5\sqrt{3}d}{3}$
答：（1）圓形區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小為$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{eR}$
（2）若要求從所有不同位置出發(fā)的電子都不能打在感光板MN上，MN與ab板間的最小距離h₁是3d
（3）若要求從所有不同位置出發(fā)的電子都能打在感光板MN上，MN與ab板間的最大距離h₂是d，當(dāng)MN與ab板間的距離最大距離h₂時(shí)，電子打到MN板上的位置到y(tǒng)軸的最遠(yuǎn)距離s為$\frac{5\sqrt{3}d}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在磁場(chǎng)、電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合臨界狀態(tài)，根據(jù)半徑公式、周期公式以及幾何關(guān)系綜合求解，難度較大．