Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第I象限存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，第IV象限存在垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電的粒子從y軸正半軸上的M點(diǎn)以速度v₀垂直于y軸射入電場，經(jīng)x軸上的N點(diǎn)與x軸正方向成60°角射入磁場，最后從y軸負(fù)半軸上的P點(diǎn)垂直于y軸射出磁場，如圖所示．不計(jì)粒子重力，求
（1）M、N兩點(diǎn)間的電勢差U_MN； 
（2）粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑r；
（3）粒子從M點(diǎn)運(yùn)動到P點(diǎn)的總時(shí)間t．

Answer 1

（1）粒子在第一象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動，進(jìn)入第四象限做勻速圓周運(yùn)動．設(shè)粒子過N點(diǎn)的速度為v，有

v0

v

=cosθ
得：v=2v₀
粒子從M點(diǎn)到N點(diǎn)的過程，由動能定理有：
qUMN=

1

2

mv2-

1

2

m

v

20

解得：UMN=

3m v 20

2q

（2）粒子在磁場中以O(shè)′為圓心做勻速圓周運(yùn)動（如圖所示），半徑為O′N，有：
qvB=

mv2

r

解得：r=

2mv0

qB

（3）由幾何關(guān)系得：
ON=rsinθ
設(shè)粒子在電場中運(yùn)動的時(shí)間為t₁，則有：
ON=v₀t₁
t1=

3 m

qB

粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期為：
T=

2πm

qB

設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為t₂，有：
t2=

π-θ

2π

T
得：t2=

2πm

3qB

運(yùn)動的總時(shí)間為：
t=t₁+t₂
即：t=

(3 3 +2π)m

3qB

答：（1）M、N兩點(diǎn)間的電勢差UMN為

3m v 20

2q

；
（2）粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑為

2mv0

qB

；
（3）粒子從M點(diǎn)運(yùn)動到P點(diǎn)的總時(shí)間為

(3 3 +2π)m

3qB

．