Question

14．如圖所示，在x＜0的區(qū)域存在沿x軸正方向的勻強電場，電場強度大小為E=$\frac{q{B}^{2}d}{m}$，在x＞0的區(qū)域Ⅰ、Ⅱ中存在磁感應強度等大反向的有界勻強磁場，區(qū)域Ⅰ的寬度為d，磁感應強度大小為B、方向垂直紙面向外．現(xiàn)將一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子在x軸上某處由靜止釋放，不計粒子重力．求：
（1）在x軸負半軸上由靜止釋放的粒子的釋放位置坐標滿足什么條件時，粒子不能到達磁場區(qū)域Ⅱ；
（2）在（1）中恰好不能到達磁場區(qū)域Ⅱ的粒子，從釋放到第二次經(jīng)過y軸運動的時間；
（3）在坐標（-$\frac{2}{3}$d，0）處釋放的粒子從釋放至第n次回到出發(fā)點所需要的時間．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中向右做加速運動，根據(jù)動能定理列式，在磁場中做勻速圓周運動，粒子恰不能到達磁場區(qū)域Ⅱ的臨界軌跡是與兩個磁場分界線相切；
（2）畫出運動軌跡，根據(jù)平均速度公式求解電加速時間，而磁偏轉(zhuǎn)過程是半個周期；
（3）在坐標（-$\frac{2}{3}$d，0）處釋放的粒子先電加速，進入?yún)^(qū)域Ⅰ、Ⅱ后回到O點，在向左勻減速回到出發(fā)點，此后不斷循環(huán)，根據(jù)運動學公式和牛頓第二定律列式，求解各段的時間即可．

解答 解：（1）在x軸上恰好不能到達區(qū)域Ⅱ的粒子運動軌跡如圖甲所示，由圖可知粒子運動半徑為d，由洛倫茲力提供向心力得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}6ry7pdm$，
設(shè)此粒子在x軸上從（-x₀，0）點處釋放，由動能定理得：
qEx₀=$\frac{1}{2}$mv²
兩式聯(lián)立解得：v=$\frac{qBd}{m}$，x₀=$\fracyf3wsbl{2}$；
因此在x軸負半軸上滿足橫坐標x≥-$\fraczru1a8o{2}$處釋放的粒子不能到達區(qū)域Ⅱ；
（2）設(shè)粒子在電場中的運動時間為t₁，有：x₀=$\frac{v}{2}$t₁，
解得：t₁=$\frac{2{x}_{0}}{v}$=$\frac{m}{qB}$，
粒子在區(qū)域Ⅰ中的運動時間為：t₂=$\frac{T}{2}=\frac{πm}{qB}$，
因此從釋放到第二次經(jīng)過y軸粒子運動的時間為：t=t₁+t₂=$\frac{m}{qB}（1+π）$；
（3）在坐標（-$\frac{2}{3}$d，0）處釋放的粒子在磁場中的運動軌跡如圖乙所示，
設(shè)粒子第一次到達y軸時速度為v'，則有：qE•$\frac{2}{3}d$=$\frac{1}{2}$mv'²，
解得：v′=$\frac{2\sqrt{3}qBd}{3m}$；
粒子從釋放至第一次到達y軸需要的時為：間t'₁=$\frac{\frac{2}{3}d}{\frac{v′}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}m}{3qB}$；
設(shè)粒子在磁場中運動的半徑為r，則有：qv'B=m$\frac{v{′}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{2}{3}\sqrt{3}d$，
由幾何關(guān)系得：sinθ=$\frac3gyjxfq{r}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：θ=60°；
因此粒子在區(qū)域Ⅱ中偏轉(zhuǎn)的圓心角為2π-（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$）×2=$\frac{5}{3}$π，
粒子第一次回到出發(fā)點所需要的時間為：
t_總=$\frac{\frac{5}{3}π+\frac{2}{3}π}{2π}$T+2t'₁
T=$\frac{2πm}{qB}$，
代入數(shù)據(jù)得t_總=$\frac{7πm}{3qB}+\frac{{4\sqrt{3}qm}}{3qB}$，
因此第n次回到出發(fā)點所需要的時間為：t_n=nt_總=n（$\frac{7πm}{3qB}+\frac{4\sqrt{3}qm}{3qB}$）（n=1，2，3，…）；
答：（1）在x軸負半軸上滿足橫坐標x≥-$\fracbn85aec{2}$處釋放的粒子不能到達區(qū)域Ⅱ；
（2）在（1）中恰好不能到達磁場區(qū)域Ⅱ的粒子，從釋放到第二次經(jīng)過y軸運動的時間為$\frac{m}{qB}（1+π）$；
（3）在坐標（-$\frac{2}{3}$d，0）處釋放的粒子從釋放至第n次回到出發(fā)點所需要的時間為（$\frac{7πm}{3qB}+\frac{4\sqrt{3}qm}{3qB}$）（n=1，2，3，…）．

點評 本題是粒子在電磁場中運動的問題，關(guān)鍵是畫出運動軌跡，分電加速和磁偏轉(zhuǎn)過程進行研究，找到循環(huán)過程．