Question

在某星球上，宇航員用彈簧測力計提著質(zhì)量為m的物體以加速度a豎直上升的過程中，測力計的示數(shù)為F；若宇宙飛船在靠近該星球表面做勻速圓周運動而成為該星球的一顆衛(wèi)星時，測得其環(huán)繞周期為T，請你依據(jù)上述數(shù)據(jù)，試求：（1）該星球表面的重力加速度g'；
（2）該星球質(zhì)量M的表達(dá)式．（引力常量為G）

Answer 1

分析：（1）物體以加速度a豎直上升的過程中，根據(jù)牛頓第二定律列方程，求出該星球表面的重力加速度g′．
（2）宇宙飛船在靠近該星球表面做勻速圓周運動時，由該星球的萬有引力提供向心力，在該星球表面上物體的重力近似等于萬有引力，根據(jù)這兩個關(guān)系列方程，即可求得該星球質(zhì)量M的表達(dá)式．

解答：解：（1）物體m加速上升的過程中，根據(jù)牛頓第二定律得：F-mg'=ma
則  g′=

F-Ma

m

=

F

m

-a
（2）設(shè)星球的半徑為R，在該星球表面有：mg′≈G

Mm

R2

把（1）中求出的g′代入，求得星球的半徑為：R=

G?M?m F-ma

設(shè)宇宙飛船的質(zhì)量為m'，則環(huán)繞星球表面做勻速圓周運動的近地衛(wèi)星有F_引=F_向
即  G

Mm′

R2

=m′(

2π

T

)2R
得：M=

4π2R3

GT2

=

4π2( GMm F-ma )3

GT2

該星球質(zhì)量M的表達(dá)式：M=

(F-ma)3?T4

16?G?m3?π4

答：
（1）該星球表面的重力加速度g'為

F

m

-a；
（2）該星球質(zhì)量M的表達(dá)式為M=

(F-ma)3?T4

16?G?m3?π4

．

點評：對于衛(wèi)星問題，根據(jù)萬有引力等于向心力和萬有引力等于重力是最基本的思路，關(guān)鍵要熟練應(yīng)用．