Question

17．如圖甲所示，傾角為30°的光滑斜面固定在水平桌面邊緣．輕繩跨過(guò)位于斜面頂端的輕滑輪連接A、B兩個(gè)小滑塊，斜面上方輕繩與斜面保持平行，豎直懸掛的滑塊離地面足夠高，滑輪與轉(zhuǎn)軸之間的摩擦不計(jì)．第一次A懸空，B放在斜面上，B自斜面底端由靜止開(kāi)始運(yùn) 動(dòng)至斜面頂端時(shí)，A和B組成系統(tǒng)的總動(dòng)能為E_k；第二次，將A和B位置互換，使B懸空，A放在斜面上，發(fā)現(xiàn)A自斜面底端由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至斜面頂端時(shí)，A和B組成系統(tǒng)的總動(dòng)能為4E_k（重力加速度g已知）．
（1）求兩小滑塊的質(zhì)量之比；
（2）若將光滑斜面換成一個(gè)半徑為R的半圓形光滑軌道，固定在水平桌面上，將這兩個(gè)小物塊用輕繩連接后，如圖放置．將B從軌道邊緣由靜止釋放，不計(jì)一切摩擦，求：B沿半圓形光滑軌道滑到底端時(shí)，A、B的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒，列式可求兩兩物體的質(zhì)量之比；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒，結(jié)合速度的合成與分解即可求出．

解答 解：（1）設(shè)斜面的長(zhǎng)度為l，A與B的質(zhì)量分別為m₁和m₂，兩次運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中二者組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，則：
m₁gl-m₂glsin30°=E_k…①
m₂gl-m₁glsin30°=4E_k…②
聯(lián)立可得：m₁：m₂=2：3…③
（2）在乙圖中，設(shè)B到達(dá)最低點(diǎn)的速度為v₂，A的速度為v₁，則B的速度可以分解為沿繩子方向的分速度與垂直于繩子方向的分速度，如圖：

由幾何關(guān)系可得：${v}_{1}={v}_{2}cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{2}$…④
下降的過(guò)程中B下降的距離為R，而A上升的距離為$\sqrt{2}$R，由機(jī)械能守恒得：
${m}_{2}gR-{m}_{1}g•\sqrt{2}R=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$…⑤
聯(lián)立③④⑤解得：${v}_{1}=\sqrt{3-2\sqrt{2}}•\frac{\sqrt{gR}}{2}$，${v}_{2}=\sqrt{3-2\sqrt{2}}•\sqrt{\frac{gR}{2}}$
答：（1）兩小滑塊的質(zhì)量之比為2：3；
（2）B沿半圓形光滑軌道滑到底端時(shí)，A、B的速度大小分別為$\sqrt{3-2\sqrt{2}}•\frac{\sqrt{gR}}{2}$和$\sqrt{3-2\sqrt{2}}•\sqrt{\frac{gR}{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查機(jī)械能守恒，解得該題的關(guān)鍵是理解在乙圖中A與B的速度大小是不相等的．