Question

9．如圖所示，ABC為一細(xì)圓管構(gòu)成的$\frac{3}{4}$圓軌道，固定在豎直平面內(nèi)，軌道半徑為R（比細(xì)圓管的半徑大得多），OA水平，OC豎直，最低點(diǎn)為B，最高點(diǎn)為C，細(xì)圓管內(nèi)壁光滑．在A點(diǎn)正上方某位置處有一質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）由靜止開始下落，剛好進(jìn)入細(xì)圓管內(nèi)運(yùn)動．已知細(xì)圓管的內(nèi)徑稍大于小球的直徑，不計(jì)空氣阻力．
（1）若小球剛好能到達(dá)軌道的最高點(diǎn)C，求小球經(jīng)過最低點(diǎn)B時軌道對小球的支持力大小；
（2）若小球從C點(diǎn)水平飛出后恰好能落到A點(diǎn)，求小球剛開始下落時離A點(diǎn)的高度為多大．

Answer 1

分析 （1）小球剛好能到達(dá)軌道的最高點(diǎn)C，則小球通過C點(diǎn)的速度為零，由動能定理和牛頓第二定律聯(lián)立列式可求解；
（2）小球從C點(diǎn)水平飛出，做平拋運(yùn)動，由平拋運(yùn)動規(guī)律和機(jī)械能守恒列式可求解．

解答 解：（1）若小球剛好能到達(dá)軌道的最高點(diǎn)C，v_c=0①
小球由B點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)的過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒$mg2R=\frac{1}{2}mv_B^2$②
在B點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律$N-mg=m\frac{v_B^2}{R}$③
由①②③式代入數(shù)據(jù)解得N=5mg
（2）從C點(diǎn)到A點(diǎn)的過程中，根據(jù)平拋運(yùn)動有$R=\frac{1}{2}g{t^2}$④
R=vt  ⑤
小球剛開始下落時離A點(diǎn)的高度為h，根據(jù)機(jī)械能守恒$mg（h-R）=\frac{1}{2}m{v^2}$⑥
由④⑤⑥得$h=\frac{5}{4}R$=1.25R
答：（1）若小球剛好能到達(dá)軌道的最高點(diǎn)C，小球經(jīng)過最低點(diǎn)B時軌道對小球的支持力大小是5mg；
（2）若小球從C點(diǎn)水平飛出后恰好能落到A點(diǎn)，小球剛開始下落時離A點(diǎn)的高度為1.25R．

點(diǎn)評 本題為動能定理與圓周運(yùn)動的結(jié)合的綜合題，解決本題的關(guān)鍵掌握動能定理，以及知道做圓周運(yùn)動沿半徑方向的合力提供向心力．