Question

15．如圖所示，在豎直平面xoy內(nèi)有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其中第三象限內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)大小為E=$\frac{2mg}{q}$，其它三個(gè)象限的場(chǎng)強(qiáng)相同但大小未知．在第一、二象限有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于坐標(biāo)平面向里．有一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電小球，從y軸的p點(diǎn)以初速度v₀垂直于y軸進(jìn)入電場(chǎng)，小球經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，從x軸的負(fù)半軸上的M點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)，并到達(dá)x軸的正半軸上的N點(diǎn)，最后又到達(dá)y軸的負(fù)半軸上，已知OM=2OP=2ON，重力加速度為g，求：
（1）其它三個(gè)象限內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小；
（2）M點(diǎn)的坐標(biāo)及小球進(jìn)入第二象限時(shí)速度的大小和方向；
（3）小球從P點(diǎn)出發(fā)到再次到達(dá)y軸的負(fù)半軸時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）小球在復(fù)合場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，電場(chǎng)力與重力合力為零，據(jù)此求出電場(chǎng)強(qiáng)度．
（2）小球在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出M點(diǎn)的坐標(biāo)與小球的速度．
（3）作出小球的運(yùn)動(dòng)軌跡，求出小球在各階段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出小球的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）小球在復(fù)合場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，重力與電場(chǎng)力合力為零，則有：qE₀=mg
解得：E₀=$\frac{mg}{q}$；
（2）小球在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，有：
OP=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$$\frac{qE-mg}{m}$t²
OM=v₀t，
解得：OM=$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$
M點(diǎn)坐標(biāo)為：（-$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$，0）；
設(shè)小球出電場(chǎng)時(shí)速度方向與x軸負(fù)方向夾角為α，類比平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律知：tanα=2$\frac{OP}{OM}$=1
解得：α=45°，
速度大小為：v=$\frac{{v}_{0}}{cosα}$=$\frac{{v}_{0}}{cos45°}$=$\sqrt{2}$v₀；
（3）小球的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

由對(duì)稱性可以知道，從N點(diǎn)飛出時(shí)與x軸負(fù)方向成45°，
在第四象限做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由OP=ON，故剛好回到原來出發(fā)點(diǎn)P，
所以N點(diǎn)到原點(diǎn)距離為：ON=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$，
設(shè)小球從P運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)間為：t₁=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{{v}_{0}}{g}$，
小球在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)從M運(yùn)動(dòng)到N，
洛侖茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
由幾何關(guān)系可得：r=（OM+ON）cos45°=$\frac{3\sqrt{2}{v}_{0}^{2}}{4g}$，
粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：T=$\frac{2πr}{v}$，
小球在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₂=$\frac{3}{4}$T=$\frac{9π{v}_{0}}{8g}$，
小球從N勻速運(yùn)動(dòng)到P用時(shí)間為：t₃=$\frac{\sqrt{2}ON}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{{v}_{0}}{2g}$，
總時(shí)間為：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{9π{v}_{0}}{8g}$+$\frac{3{v}_{0}}{2g}$；
答：（1）其它三個(gè)象限內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為$\frac{mg}{q}$；
（2）M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$，0），小球進(jìn)入第二象限時(shí)速度的大小為：$\sqrt{2}$v₀，方向：與x軸負(fù)方向成45°角；
（3）小球從P點(diǎn)出發(fā)到再次到達(dá)y軸的負(fù)半軸時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{9π{v}_{0}}{8g}$+$\frac{3{v}_{0}}{2g}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了小球在電場(chǎng)、磁場(chǎng)、復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)過程、作出小球運(yùn)動(dòng)軌跡、知道小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件是解題的前提；應(yīng)用平衡條件、牛頓第二定律、類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可解題；解題時(shí)要注意幾何知識(shí)的應(yīng)用．