Question

12．如圖甲，相距為L(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌水平放置，導(dǎo)軌一部分處在垂直導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，oo′為磁場(chǎng)邊界，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)軌右側(cè)接有定值電阻R，導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì)．在距oo′為L(zhǎng)處垂直導(dǎo)軌放置一質(zhì)量為m、電阻不計(jì)的金屬桿ab．

（1）若ab桿在恒力作用下由靜止開始向右運(yùn)動(dòng)，其速度-位移的關(guān)系圖象如圖乙所示，則在此過程中電阻R上產(chǎn)生的電熱Q₁是多少？ab桿在離開磁場(chǎng)前瞬間的加速度為多少？
（2）若ab桿固定在導(dǎo)軌上的初始位置，磁場(chǎng)按B_t=Bcosωt規(guī)律由B減小到零，在此過程中電阻R上產(chǎn)生的電熱為Q₂，求ω的大�。�

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用動(dòng)能定理分別研究ab桿在位移L到3L的過程及位移為L(zhǎng)的兩個(gè)過程，列式求解電熱Q₁．推導(dǎo)出安培力${F_安}=\frac{{{B^2}{L^2}{v_1}}}{R}$，根據(jù)牛頓第二定律求加速度．
（2）當(dāng)磁場(chǎng)按B_t=Bcos t規(guī)律變化時(shí)，閉合回路的磁通量Φ的變化規(guī)律為Φ=Bcosωt=BL²cosωt，電動(dòng)勢(shì)最大值為E_m=BωL²，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度由B減小到零，根據(jù)焦耳定律求ω的大小．

解答 解：（1）ab桿在位移L到3L的過程中，由動(dòng)能定理
     F（3L-L）=$\frac{1}{2}m（v{\;}_2^2-v_1^2）$
ab桿在磁場(chǎng)中發(fā)生L過程中，恒力F做的功等于ab桿增加的動(dòng)能和回路產(chǎn)生的電能
    FL=$\frac{1}{2}mv_1^2+{Q_1}$
解得　　${Q_1}=\frac{m（v_2^2-3v_1^3）}{4}$
ab桿在離開磁場(chǎng)前瞬間，水平方向上受安培力F_安和外力F作用，加速度a，則${F_安}=\frac{{{B^2}{L^2}{v_1}}}{R}$
根據(jù)牛頓第二定律得 $a=\frac{{F-{F_安}}}{m}$
解得　$a=\frac{v_2^2-v_1^2}{4L}-\frac{{{B^2}{L^2}v}}{mR}$
（2）當(dāng)磁場(chǎng)按B_t=Bcos t規(guī)律變化時(shí)，閉合回路的磁通量Φ的變化規(guī)律為
  Φ=Bcosωt=BL²cosωt
該過程中穿過線圈的磁通量，與線圈在磁場(chǎng)中以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律相同，因此回路中產(chǎn)生交流電．
電動(dòng)勢(shì)最大值為E_m=BωL²　　　　　　　　　　　
磁場(chǎng)減小到零，相當(dāng)于線圈轉(zhuǎn)過90°，經(jīng)歷四分之一周期，過程
中產(chǎn)生的電熱
  Q₂=${（\frac{E_m}{{\sqrt{2}}}）^2}\frac{1}{R}×\frac{T}{4}$
又 T=$\frac{2π}{ω}$
解得　　　$ω=\frac{{4{Q_2}R}}{{π{B^2}{L^4}}}$
答：
（1）在此過程中電阻R上產(chǎn)生的電熱Q₁是$\frac{m（{v}_{2}^{2}-3{v}_{1}^{3}）}{4}$．a(chǎn)b桿在離開磁場(chǎng)前瞬間的加速度為$\frac{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}{4L}$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{mR}$．
（2）ω的大小為$\frac{4{Q}_{2}R}{π{B}^{2}{L}^{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是運(yùn)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律、焦耳定律等力學(xué)和電路規(guī)律研究電磁感應(yīng)現(xiàn)象．對(duì)于正弦交變電流，要用有效值來求電熱．