Question

20．已知地球質(zhì)量大約是月球質(zhì)量的81倍，地球半徑大約是月球半徑的4倍．不考慮地球、月球自轉(zhuǎn)的影響，由以上數(shù)據(jù)可推算出（　�。�

• A． 地球的平均密度與月球的平均密度之比約為9：8
• B． 地球表面重力加速度與月球表面重力加速度之比約為81：16
• C． 靠近地球表面沿圓軌道運(yùn)行的航天器的周期與靠近月球表面沿圓軌道運(yùn)行的航天器的周期之比約為8：9
• D． 地球的第一宇宙速度與月球的第一宇宙速度之比為81：4

Answer 1

分析 根據(jù)質(zhì)量之比和體積之比求出平均密度之比．根據(jù)萬有引力等于重力，結(jié)合地球和月球的半徑之比和質(zhì)量之比求出表面的重力加速度之比．根據(jù)萬有引力提供向心力得出周期之比、第一宇宙速度之比．

解答 解：A、根據(jù)$ρ=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$，因為地球質(zhì)量與月球質(zhì)量之比為81：1，半徑之比為4：1，則體積之比64：1，可知地球的平均密度和月球的平均密度之比為81：64，故A錯誤．
B、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，表面的重力加速度g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，因為地球質(zhì)量與月球質(zhì)量之比為81：1，半徑之比為4：1，則地球表面重力加速度與月球表面重力加速度之比約為81：16，故B正確．
C、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{GM}}$，因為半徑之比為4：1，質(zhì)量之比為81：1，則靠近地球表面沿圓軌道運(yùn)行的航天器的周期與靠近月球表面沿圓軌道運(yùn)行的航天器的周期之比約為8：9，故C正確．
D、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，因為半徑之比為4：1，質(zhì)量之比為81：1，則地球的第一宇宙速度與月球的第一宇宙速度之比為9：2．故D錯誤．
故選：BC．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．