Question

11．如圖所示，傾角為θ=45°的粗糙平直導軌與半徑為R的光滑圓環(huán)軌道相切，切點為B，整個軌道處在豎直平面內．一質量為m的小滑塊從軌道上離地面高為h=3R的D處無初速下滑進入圓環(huán)軌道，接著小滑塊從圓環(huán)最高點C水平飛出，恰好擊中導軌上與圓心O等高的P點，不計空氣阻力．求：
（1）小滑塊在C點飛出的速率；
（2）在圓環(huán)最低點時滑塊對圓環(huán)軌道壓力的大�。�
（3）滑塊與斜軌之間的動摩擦因數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據幾何關系得出平拋運動的水平位移，結合平拋運動的規(guī)律，求出平拋運動的初速度，即在最高點C的速度．
（2）對最低點到C點運用動能定理，求出最低點的速度，根據牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出滑塊對最低點的壓力大�。�
（3）對D到最低點運用動能定理，求出滑塊與斜軌之間的動摩擦因數(shù)．

解答 解：（1）根據幾何關系知，OP間的距離為：x=$\sqrt{2}$R
小滑塊從C點飛出來做平拋運動，水平速度為v₀．根據R=$\frac{1}{2}$gt²得：t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
則滑塊在最高點C時的速度為：v_c=$\frac{\sqrt{2}R}{t}$=$\sqrt{gR}$．
（2）對最低點到C點的過程運用動能定理得：
-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_c²-$\frac{1}{2}$mv²；
解得：v=$\sqrt{5gR}$
對最低點由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：F_N=6mg
由牛頓第三定律得：滑塊運動到圓環(huán)最低點時對圓環(huán)軌道壓力的大小為6mg．
（3）DB之間長度L=（2$\sqrt{2}$+1）R
從D到最低點過程中，由動能定理：
mgh-μmgcosθ•L=$\frac{1}{2}$mv²
解得：μ=$\frac{1}{4+\sqrt{2}}$≈0.18
答：（1）滑塊運動到圓環(huán)最高點C時的速度的大小為$\sqrt{gR}$；
（2）滑塊運動到圓環(huán)最低點時對圓環(huán)軌道壓力的大小為6mg；
（3）滑塊與斜軌之間的動摩擦因數(shù)為0.18．

點評 該題的突破口是小滑塊從圓環(huán)最高點C水平飛出，恰好擊中導軌上與圓心O等高的P點，運用平拋規(guī)律和幾何關系求出初速度．下面就是一步一步運用動能定理和牛頓第二定律解決問題．