Question

2．如圖所示的矩形區(qū)域ACDG（AC邊足夠長(zhǎng)）中存在垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，GA邊長(zhǎng)為定值L．有一寬度為d的狹縫，A處為右邊緣．離子源產(chǎn)生的離子束，經(jīng)靜電場(chǎng)加速穿過(guò)狹縫后，垂直于GA邊和磁場(chǎng)方向射入，實(shí)現(xiàn)將比荷不同的離子分開，并被GA邊上相應(yīng)的收集器收集．
已知被加速的兩束正離子的質(zhì)量分別是m₁和m₂（m₁＞m₂），電荷量均為q．加速電場(chǎng)的電勢(shì)差為U，離子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的初速度可以忽略．不計(jì)重力，也不考慮離子間的相互作用．
（1）質(zhì)量為m₁的離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)半徑；
（2）為保證上述兩種離子束能落在GA邊上并被完全分離，求狹隘的最大寬度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，結(jié)合半徑公式求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)的半徑．
（2）由題意畫出草圖，通過(guò)圖找出兩個(gè)軌跡因?qū)挾葹閐狹縫的影響，從而應(yīng)用幾何知識(shí)找出各量的關(guān)系，列式求解．

解答 解：（1）由動(dòng)能定理得，$qU=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}$，解得${v}_{1}=\sqrt{\frac{2qU}{{m}_{1}}}$，
由$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，R=$\frac{mv}{qB}$，
得質(zhì)量為m₁的離子在磁場(chǎng)中的軌道半徑為${R}_{1}=\sqrt{\frac{2{m}_{1}U}{q{B}^{2}}}$．
（2）質(zhì)量為m₁的離子，在GA邊上的落點(diǎn)都在其入射點(diǎn)左側(cè)2R₁處，由于狹縫的寬度為d，因此落點(diǎn)區(qū)域的寬度也是d，同理，質(zhì)量為m₂的離子在GA邊上落點(diǎn)區(qū)域的寬度也是d，
條件為：2（R₁-R₂）＞d，${R}_{2}=\sqrt{\frac{2{m}_{2}U}{q{B}^{2}}}$．
聯(lián)立解得$2{R}_{1}（1-\sqrt{\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}}）$＞d，
R₁的最大值滿足：
2R_1m=L-d
得：$（L-d）（1-\sqrt{\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}}）＞d$，
求得最大值：d_m=$\frac{\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}}{2\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}}L$．
答：（1）質(zhì)量為m₁的離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)半徑為$\sqrt{\frac{2{m}_{1}U}{q{B}^{2}}}$；
（2）狹隘的最大寬度為$\frac{\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}}{2\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}}L$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查帶電粒子在有界電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，類似質(zhì)譜儀，解題方式和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)相似，確定圓心，軌跡和半徑，整體上難度不大．