Question

6．如圖甲所示，坐標(biāo)空間第二象限和第三象限中有豎直向下的寬度為L的勻強(qiáng)電場，y軸為電場的右界面，虛線為電場區(qū)域的左邊界，第四象限有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀的勻強(qiáng)磁場．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子從電場左邊界PQ某處以初速度v₀沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后恰好從坐標(biāo)原點(diǎn)以與x軸正方向成θ=37°夾角進(jìn)人磁場，粒子的重力不計(jì)．
（1）求電場強(qiáng)度E的大小．
（2）求粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑．
（3）若磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小保持不變，而磁場的方向隨時(shí)間t的變化如圖乙所示，圖乙中B＞0表示磁場方向垂直于紙面向外．而B＜0則表示磁場方向垂直于紙面向內(nèi)．已知圖象的變化周期T₀=$\frac{4πm}{q{B}_{0}}$，則粒子在0～$\frac{{T}_{0}}{2}$時(shí)間內(nèi)的什么時(shí)刻從O點(diǎn)射入，就可以在0～T₀的時(shí)間內(nèi)恰好不能穿過y軸？

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出加速度，再由牛頓第二定律得到E．
（2）由速度的分解求出粒子進(jìn)入磁場的速度，結(jié)合洛倫茲力提供向心力求出粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．
（3）作出粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)，恰好能在再次運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸的情況的軌跡圖，運(yùn)用粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間與圓心角的關(guān)系，求出粒子射入的時(shí)刻，從而得出入射時(shí)間應(yīng)滿足的條件．

解答 解：（1）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，則有
  水平方向 L=v₀t
  豎直方向 v₀tanθ=at
又由牛頓第二定律得 qE=ma
聯(lián)立以上各式解得 E=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{4qL}$
（2）粒子進(jìn)入時(shí)的速度大小為 v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$
粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：
  qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得 R=$\frac{5m{v}_{0}}{4q{B}_{0}}$
（3）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)周期 T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$
粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)，恰好能再次運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸的情況如圖所示，粒子從O點(diǎn)射入的時(shí)間為 t=$\frac{{T}_{0}}{2}$-$\frac{90°}{360°}$•T=$\frac{1}{2}•$$\frac{4πm}{q{B}_{0}}$-$\frac{1}{4}•$$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$=$\frac{3πm}{2q{B}_{0}}$
答：
（1）電場強(qiáng)度E的大小是$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{4qL}$．
（2）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑是$\frac{5m{v}_{0}}{4q{B}_{0}}$．
（3）粒子在0～$\frac{{T}_{0}}{2}$時(shí)間內(nèi)的 t=$\frac{3πm}{2q{B}_{0}}$時(shí)刻從O點(diǎn)射入，就可以在0～T₀的時(shí)間內(nèi)恰好不能穿過y軸．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌握粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)的半徑公式和周期公式，知道運(yùn)動(dòng)時(shí)間與周期和圓心角的關(guān)系，本題的難點(diǎn)在于作出粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)，恰好能在再次運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸的軌跡圖．