Question

【題目】如圖，在坐標(biāo)系xOy的第二象限存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面向里；第三象限內(nèi)有沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)；第四象限的某圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為第二象限磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的4倍。一質(zhì)量為m、帶電荷量為q（q>0）的粒子以速率v自y軸的A點(diǎn)斜射入磁場(chǎng)，經(jīng)x軸上的C點(diǎn)以沿y軸負(fù)方向的速度進(jìn)入電場(chǎng)，然后從y軸負(fù)半軸上的D點(diǎn)射出，最后粒子以沿著y軸正方向的速度經(jīng)過(guò)x軸上的Q點(diǎn)。已知OA=，OC=d，OD=，OQ=4d，不計(jì)粒子重力。

（1）求第二象限磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小與第三象限電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��；

（2）求粒子由A至D過(guò)程所用的時(shí)間；

（3）試求第四象限圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。

Answer 1

【答案】（1），（2）（3）

【解析】

(1)由題意畫出粒子軌跡圖如圖所示：

粒子在第二象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子在第二象限磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，由牛頓第二定律有

由幾何關(guān)系有：

可得：r=2d

聯(lián)立以上各式得：

粒子在第三象限做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子在第三象限電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t2，y軸方向分運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)動(dòng)有：

設(shè)x軸方向勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度為a，有：

Eq＝ma

聯(lián)立各式得：

(2)設(shè)粒子在第二象限磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1，AC弧對(duì)應(yīng)的圓心角為α，由幾何關(guān)系知

可解得：α=60°

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：

由(1)可知：

所以粒子由A至D過(guò)程所用的時(shí)間為：

(3)設(shè)粒子在D點(diǎn)的速度與y軸負(fù)方向夾角為θ，在D處，粒子的x軸分速度：

由合速度與分速度的關(guān)系得：

聯(lián)立可得：θ=60°，故；

設(shè)粒子在第四象限磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r1，由牛頓第二定律有

結(jié)合(1)得：r1=d；

在第四象限如圖，粒子在第四象限運(yùn)動(dòng)的軌跡必定與D、Q速度所在直線相切，由于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為d，故粒子在第四象限運(yùn)動(dòng)的軌跡是如圖所示的軌跡圓O2，該軌跡圓與速度所在直線相切于M點(diǎn)、與速度所在直線相切于N點(diǎn)，連接MN，由幾何關(guān)系可知：

MN=

由于M點(diǎn)、N點(diǎn)必須在磁場(chǎng)內(nèi)，即線段MN在磁場(chǎng)內(nèi)，故可知磁場(chǎng)面積最小時(shí)必定是以MN為直徑（如圖所示）的圓。即面積最小的磁場(chǎng)半徑為：

設(shè)磁場(chǎng)的最小面積為S，得

答：（1）第二象限磁感應(yīng)強(qiáng)度，第三象限電場(chǎng)強(qiáng)度；

（2）粒子由A至D過(guò)程所用的時(shí)間；

（3）第四象限圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。