Question

18．一質(zhì)量M=0.8kg的中空的、粗細(xì)均勻的、足夠長(zhǎng)的絕緣細(xì)管，其內(nèi)表面粗糙、外表面光滑；有一質(zhì)量為m=0.2kg、電荷量為q=0.1C的帶正電滑塊以水平向右的速度進(jìn)入管內(nèi)，如圖甲所示．細(xì)管置于光滑的水平地面上，細(xì)管的空間能讓滑塊順利地滑進(jìn)去，示意圖如圖乙所示．運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滑塊的電荷量保持不變．空間中存在垂直紙面向里的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=1.0T．（取水平向右為正方向，g=10m/s²）

（1）滑塊以v₀=10m/s的初速度進(jìn)入細(xì)管內(nèi)，則系統(tǒng)最終產(chǎn)生的內(nèi)能為多少？
（2）滑塊最終的穩(wěn)定速度v_t取決于滑塊進(jìn)入細(xì)管時(shí)的初速度v₀，請(qǐng)討論當(dāng)v₀的取值范圍在0至60m/s的情況下，滑塊和細(xì)管分別作什么運(yùn)動(dòng)，并求出v_t和v₀的函數(shù)關(guān)系？

Answer 1

分析 （1）小滑塊與細(xì)管組成的系統(tǒng)水平方向外力為零，因此水平方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒，然后根據(jù)功能關(guān)系即可求解．
（2）本問(wèn)的關(guān)鍵是正確分析重力和洛倫茲力的關(guān)系，以重力等于洛倫茲力為臨界點(diǎn)進(jìn)行分析，當(dāng)重力大于洛倫茲力時(shí)，細(xì)管下壁與滑塊之間有支持力，當(dāng)重力小于洛倫茲力時(shí)，細(xì)管上壁與滑塊之間有支持力．明確了這些便找到了解決問(wèn)題的突破點(diǎn)．

解答 解：（1）小球剛進(jìn)入管內(nèi)時(shí)受到洛侖茲力為：F_洛=qv₀B=1N…①
依題意小球受洛侖茲力方向向上，F(xiàn)_洛＜mg=2N，小球與管的下壁有彈力，
摩擦使球減速至最終與細(xì)管速度相同時(shí)，兩者以共同速度v運(yùn)動(dòng)，
由動(dòng)量守恒定律：mv₀=（m+M）v…②
對(duì)系統(tǒng)：由能量守恒定律：$\frac{1}{2}$mv₀²=Q+$\frac{1}{2}$（M+m）v²…③
由②③得：Q=8J，故系統(tǒng)最終產(chǎn)生的內(nèi)能為8J．
（2）①分析：當(dāng)滑塊對(duì)管的上下壁均無(wú)壓力時(shí)，滑塊進(jìn)入細(xì)管的速度滿足：
mg=qv'₀B…④
解得：v'₀=20m/s，
下面分a、b兩種情況進(jìn)行討論分析：
a、當(dāng)滑塊初速小于v₀=20m/s時(shí)，F(xiàn)_洛＜mg，滑塊與管的下壁有彈力，并有摩擦力，使滑塊作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，細(xì)管作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，最終兩者共速
對(duì)系統(tǒng)：依動(dòng)量守恒定律：mv₀=（m+M）v_t …⑤
代入數(shù)據(jù)得：v_t=0.2v₀ （0＜v₀＜20m/s）…⑥
b、當(dāng)滑塊初速20m/s≤v₀≤60m/s時(shí)，滑塊與管的上壁有彈力，摩擦使滑塊減速最終速度為 v_t=20m/s，而細(xì)管作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速到V′⑧
當(dāng)滑塊以初速度為v₀進(jìn)入，若恰好V′=v_t=20m/s，則對(duì)系統(tǒng)依動(dòng)量守恒定律有：mv₀=（m+M）V′
可得：v₀=100m/s＞60m/s，
當(dāng)滑塊以v₀=60m/s進(jìn)入時(shí)，f_洛=qv₀B=6N＜（m+m）g=10N
細(xì)管工不會(huì)離開地面．
可見(jiàn)：當(dāng)滑塊以初速度20m/s≤v₀≤60m/s進(jìn)入細(xì)管時(shí)，細(xì)管最終不能加速到20m/s
故當(dāng)滑塊初速小于v₀=20m/s時(shí)，滑塊作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，細(xì)管作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，最終兩者以相同的速度一起勻速運(yùn)動(dòng)；
當(dāng)滑塊初速20m/s≤v₀≤60m/s時(shí)，滑塊作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度達(dá)到20m/s時(shí)，開始運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，細(xì)管開始做勻加速運(yùn)動(dòng)，后做勻速運(yùn)動(dòng)，且速度小于20m/s．
答：（1）滑塊以v₀=10m/s的初速度進(jìn)入細(xì)管內(nèi)，則系統(tǒng)最終產(chǎn)生的內(nèi)能為8J
（2）故當(dāng)滑塊初速小于v₀=20m/s時(shí)，滑塊作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，細(xì)管作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，最終兩者以相同的速度一起勻速運(yùn)動(dòng)；
當(dāng)滑塊初速20m/s≤v₀≤60m/s時(shí)，滑塊作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度達(dá)到20m/s時(shí)，開始運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，細(xì)管開始做勻加速運(yùn)動(dòng)，后做勻速運(yùn)動(dòng)，且速度小于20m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題過(guò)程、受力情況比較復(fù)雜，考查知識(shí)點(diǎn)全面，有一定難度，解答這類題目的關(guān)鍵是正確進(jìn)行受力分析，弄清運(yùn)動(dòng)形式，然后依據(jù)規(guī)律求解．