Question

11．如圖所示，有1、2、3三個(gè)質(zhì)量均為m=1kg的物體，物體2與物體3通過(guò)不可伸長(zhǎng)輕繩連接，跨過(guò)光滑的定滑輪，設(shè)長(zhǎng)板2到定滑輪足夠遠(yuǎn)，物體3離地面高H=2.75m，物體1與長(zhǎng)板2之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2．長(zhǎng)板2在光滑的桌面上從靜止開(kāi)始釋放，同時(shí)物體1（視為質(zhì)點(diǎn)）在長(zhǎng)板2的左端以v=4m/s的初速度開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最遠(yuǎn)相對(duì)長(zhǎng)木板2能運(yùn)動(dòng)到其中點(diǎn)．（取g=10m/s²）求：
（1）開(kāi)始時(shí)物體1和長(zhǎng)木板2的加速度大小；
（2）長(zhǎng)板2的長(zhǎng)度L；
（3）當(dāng)物體3落地時(shí)，物體1在長(zhǎng)板2的位置．

Answer 1

分析 （1）物體1相對(duì)于2向右運(yùn)動(dòng)，物體3和長(zhǎng)木板2加速度大小相等．根據(jù)牛頓第二定律求出物體1的加速度和物體2和3的整體加速度；
（2）物體1最遠(yuǎn)相對(duì)長(zhǎng)木板2能運(yùn)動(dòng)到其中點(diǎn)，這時(shí)兩者的速度相等，求出時(shí)間，由位移公式分別求出物體1和物體23的位移，兩者位移之差即等于板長(zhǎng)．
（3）判斷三個(gè)物體能否相對(duì)靜止．假設(shè)物體123相對(duì)靜止，由牛頓第二定律求出加速度和物體1所受的靜摩擦力，與最大靜摩擦力比較，可知物體1和物體2相對(duì)滑動(dòng)．再求出物體1和物體2、3的加速度，由位移公式求出物體3落地時(shí)整體下落高度h，得到時(shí)間，并求出物體1的位移，可知物體1在長(zhǎng)板2的位置．

解答 解：（1）物體1的加速度為：a₁=$\frac{μmg}{m}$=μg=2m/s²
物體2和3的整體加速度為：a₂=$\frac{mg+μmg}{2m}$=$\frac{（1+μ）g}{2}$=$\frac{（1+0.2）×10}{2}$=6m/s²
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁二者速度相等，有：v₁=v+a₁t=a₂t
代入數(shù)據(jù)解：t₁=0.5s，v₁=3m/s
物體1和2的位移分別為：
x₁=$\frac{1}{2}$（v+v₁）t=$\frac{1}{2}$×（4+3）×0.5m=1.75m
x₂=$\frac{{v}_{1}}{2}t$=$\frac{3}{2}×0.5$m=0.75m
所以物體1相對(duì)木板2向前滑動(dòng)的距離為：
△x=x₁-x₂=1m
（3）此后，假設(shè)物體1、2、3相對(duì)靜止，整體的加速度大小為：a=$\frac{mg}{3m}$=$\frac{1}{3}$g
對(duì)物體1，f=ma=3.3N＞F_f=μmg=2N，故假設(shè)不成立，物體1和物體2相對(duì)滑動(dòng)
物體1的加速度為：a₃=μg=2m/s²
物體2和3整體的加速度為：a₄=$\frac{1}{2}$（1-μ）g=$\frac{1}{2}×（1-0.2）×10$m=4m/s²
物體1相對(duì)2向后滑，所以木板2長(zhǎng)為：L=2△x=2m
（3）整體下落高度為：h=H-x₂=2.75-0.75=2m
根據(jù) h=v₁t₂+$\frac{1}{2}$a₄t₂²
代入數(shù)據(jù)解得：t₂=0.5s
物體1的位移為：x₃=v₁t₂+$\frac{1}{2}$a₃t₂²
代入數(shù)據(jù)解得：x₃=1.75m
物體1相對(duì)木板2向后滑動(dòng)的距離為：△x′=h-x₃=0.25m
則有：d=△x-△x′=0.75m
即物體1在距長(zhǎng)木板2左端0.75m處；
答：（1）開(kāi)始時(shí)物體1和長(zhǎng)木板2的加速度大小分別為2m/s²和6m/s²；
（2）長(zhǎng)板2的長(zhǎng)度L為2m；
（3）當(dāng)物體3落地時(shí)，物體1在距長(zhǎng)木板2左端0.75m處．

點(diǎn)評(píng) 本題是牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合，邊計(jì)算邊分析，抓住臨界狀態(tài)：速度相等是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)．