Question

6．如圖所示，一塊質(zhì)量為M的勻質(zhì)木板放在足夠長的光滑水平桌面上，初始時速度為零．板的最左端有一個質(zhì)量為m的物塊，物塊與板間的動摩擦因數(shù)為μ，物塊上連接一根足夠長的細繩，細繩跨過位于桌面邊緣的定滑輪，某人以恒定速度v向下勻速拉繩，繩子對物塊的拉力保持水平，物塊最多只能向右到達板的中點，且此時板的右端尚未到達桌邊的定滑輪．求：
（1）物塊與木板相對滑動的過程中，物塊受到的摩擦力和木板運動的加速度；
（2）求木板的長度是多少？
（3）若物塊在木板最左端時，給木板一個水平向左的初速度v₀，為使木板與物塊能脫離，v₀應滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）由滑動摩擦力公式求出滑動摩擦力，由牛頓第二定律求出加速度．
（2）當二者達到共同速度時，物塊恰好滑動到板的中央，應用勻變速直線運動的位移公式可以求出板的長度．
（3）當兩者速度相等而物塊恰好到達板的另一端時，初速度最大，應用勻變速運動規(guī)律求出初速度，然后分析答題．

解答 解：（1）由于物塊向右做勻速運動，對物塊和木板受力分析，如圖所示：

物塊受到木板的摩擦力大小：f=μF_N=μN=μmg，方向水平向左．
設(shè)木板運動的加速度大小為a，由牛頓第二定律有：f=Ma，
解得：a=$\frac{μmg}{M}$，方向水平向右；
（2）木板向右做勻加速直線運動，直到速度為V，然后物塊與木板相對靜止向右勻速直線運動．
兩者相對滑動的時間：t₁=$\frac{v}{a}$=$\frac{Mv}{μmg}$，
設(shè)木板的長度為L，則$\frac{1}{2}$L=s_物-s_板=vt₁-$\frac{1}{2}$at₁²，解得：L=$\frac{M{v}^{2}}{μmg}$；
（3）木板先向左做勻減速直線運動，加速度大小為a，直到速度為零，
設(shè)這段時間為t₂，t₂=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{M{v}_{0}}{μmg}$，
然后木板由靜止開始向右作勻加速直線運動，情況與前述相同，物塊與木板的相對位移為$\frac{1}{2}$L，
所以，為了使物塊與木板脫離，則在t₂時間內(nèi)物塊與木板的相對位移S≥$\frac{1}{2}$L．
s=vt₂+$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$=$\frac{2Mv{v}_{0}+M{v}_{0}^{2}}{2μmg}$≥$\frac{M{v}^{2}}{2μmg}$，解得：v₀≥（$\sqrt{2}$-1）v；
答：（1）物塊與木板相對滑動的過程中，物塊受到的摩擦力大小為：μmg，方向水平向左，木板運動的加速度大小為：$\frac{μmg}{M}$，方向水平向右；
（2）木板的長度是$\frac{M{v}^{2}}{μmg}$；
（3）v₀應滿足的條件是：v₀≥（$\sqrt{2}$-1）v．

點評 本題考查了求摩擦力、加速度、速度、木板長度等問題，分析清楚物體運動過程是正確解題的前提與關(guān)鍵，應用滑動摩擦力公式、牛頓第二定律、運動學公式即可正確解題．