Question

（08年黃橋中學(xué)三模）(16分)如圖所示,光滑的平行金屬導(dǎo)軌CD與EF間距為L(zhǎng)＝1m,與水平夾角為θ＝30⁰,導(dǎo)軌上端用導(dǎo)線CE連接（導(dǎo)軌和連接線電阻不計(jì)）,導(dǎo)軌處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B＝0.1T、方向垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中.一根電阻為R＝lΩ 的金屬棒MN兩端有導(dǎo)電小輪擱在兩導(dǎo)軌上,棒上有吸水裝置P.取沿導(dǎo)軌向下為x軸正方向,坐標(biāo)原點(diǎn)在CE中點(diǎn).開始時(shí)棒處在x＝0位置（即與CE重合）,棒的起始質(zhì)量不計(jì).當(dāng)棒自靜止起下滑時(shí),便開始吸水,質(zhì)量逐漸增大,設(shè)棒質(zhì)量的增大與位移x的平方根成正比,即,k為一常數(shù),.求：

⑴猜測(cè)金屬棒下滑過(guò)程中做的是什么性質(zhì)的運(yùn)動(dòng),并加以證明．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

⑵金屬棒下滑2 m位移時(shí)速度為多大?

⑶金屬棒下滑2 m位移過(guò)程中,流過(guò)棒的電荷量是多少?

Answer 1

解析：

⑴由于棒從靜止開始運(yùn)動(dòng)，因此首先可以確定棒開始階段做加速運(yùn)動(dòng)，然后通過(guò)受力分析，看看加速度可能如何變化？如圖所示，棒在下滑過(guò)程中沿導(dǎo)軌方向有向下的重力分力mgsinθ和向上的安培力F．由于m隨位移x增大而增大，所以，mgsinθ是一個(gè)變力；而安培力與速度有關(guān)，也隨位移增大而增大．如果兩個(gè)力的差值恒定，即合外力是恒力的話，棒有可能做勻加速運(yùn)動(dòng)．不妨假設(shè)棒做的是勻加速運(yùn)動(dòng)，且設(shè)下滑位移x時(shí)的加速度為ai,根據(jù)牛頓第二定律，有

　

　　　　　　　　　　　　　　　

安培力F＝ILB，，所以，

 

有　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

 

假設(shè)棒做勻加速運(yùn)動(dòng)．則瞬時(shí)速度 ，  

         

由于，代入后得到

 

 

　　　　　　�、�

 

消去后得到

 

　　　　　 　　③

 

從上述方程可以看出ai的解是一個(gè)定值，與位移x無(wú)關(guān)，這表明前面的假設(shè)成立．棒的運(yùn)動(dòng)確實(shí)是勻加速運(yùn)動(dòng)．若本問(wèn)題中m不與成正比，代人牛頓第二定律方程后，不能消去，加速度ai就與x有關(guān)，從而說(shuō)明ai是一個(gè)變量，得到是一個(gè)不能白洽的結(jié)果，則表明前面的假設(shè)不能成立．

 

⑵為了求棒下滑2 m時(shí)的速度，應(yīng)先求出棒的加速度．將題目給出的數(shù)據(jù)代入③式得到

 

 

 

化簡(jiǎn)有　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

 

令，則④式可寫作

 

 

解得         　　　a＝4.69m/s2．

 

根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律，

 

⑶金屬棒下滑2m過(guò)程中，流過(guò)棒的電量可以用求解。

 

 

另一種解法是用求解。棒中瞬時(shí)電流。由于v是隨時(shí)間均勻增加的，所以電流也隨時(shí)間均勻增加，棒下滑2m位移所需時(shí)間為，在這段時(shí)間內(nèi)平均電流，所以，所得的結(jié)果與前面相同

 

 

。