Question

3．如圖所示，帶正電的絕緣小滑塊A，被長(zhǎng)R=0.4m的絕緣細(xì)繩豎直懸掛，懸點(diǎn)O距水平地面的高度為3R；小滑塊B不帶電．位于O點(diǎn)正下方的地面上．長(zhǎng)L=2R的絕緣水平傳送帶上表面距地面的高度h=2R，其左端與O點(diǎn)在同一豎直線上，右端的右側(cè)空間有方向豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)．在．點(diǎn)與傳送帶之間有位置可調(diào)的固定釘子（圖中未畫(huà)出），當(dāng)把A拉到水平位置由靜止釋放后，因釘子阻擋，細(xì)繩總會(huì)斷裂，使得A能滑上傳送帶繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，若傳送帶逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，A剛好能運(yùn)動(dòng)到傳送帶的右端．已知絕緣細(xì)繩能承受的最大拉力是A重力的5倍，A所受電場(chǎng)力大小與重力相等，重力加速度g=10m/s²，A、B均可視為質(zhì)點(diǎn)，皮帶傳動(dòng)輪半徑很小，A不會(huì)因繩斷裂而損失能量、也不會(huì)因摩擦而損失電荷量．
試求：
（1）釘子距O點(diǎn)的距離的范圍．
（2）若傳送帶以速度v₀=5m/s順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，在A剛滑到傳送帶上時(shí)，B從靜止開(kāi)始向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A剛落地時(shí)，B恰與A相碰．試求B做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度大�。ńY(jié)果可用根式表示）

Answer 1

分析 （1）物體A運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn)的過(guò)程中因機(jī)械能守恒求的最低點(diǎn)的速度，由牛頓第二定律求的半徑最大值即可；
（2）在A運(yùn)動(dòng)到傳送帶右端的過(guò)程中，因釘子擋繩不損失能量，有動(dòng)能定理求得摩擦因數(shù)，在傳送帶上根據(jù)動(dòng)能定理求的最有短的速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求的時(shí)間，
對(duì)B物體由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可求得加速度

解答 解：（1）物體A運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn)的過(guò)程中因機(jī)械能守恒，由$mgR=\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}$
${v}_{1}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×0.4×10}m/s=2\sqrt{2}m/s$
A到最低點(diǎn)，繩子被擋住，有T-mg=$\frac{{mv}_{1}^{2}}{r}$
當(dāng)T=Tm=5mg，解得r=$\frac{R}{2}=0.2m$
故釘子距O點(diǎn)的距離范圍是0.4m＞x＞0.2m
（2）在A運(yùn)動(dòng)到傳送帶右端的過(guò)程中，因釘子擋繩不損失能量，
由動(dòng)能定理mgR-μmgL=0
解得μ=0.5
因v₀=5m/s＞v₁，所以A在傳送帶上將做加速運(yùn)動(dòng)，假設(shè)A一直加速，到右端的速度為v₂，
由動(dòng)能定理$μmgL=\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}$
解得v₂=4m/s，假設(shè)成立，故物體做平拋運(yùn)動(dòng)，
對(duì)A設(shè)在傳送帶上運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1，類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式
傳送帶上L=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}{t}_{1}$
類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)l=v₂t₂  h=$\frac{1}{2}{at}_{2}^{2}$  qE+mg=ma
聯(lián)立解得${t}_{1}=0.4（2-\sqrt{2}）s$，${t}_{2}=0.2\sqrt{2}s$  $l=0.8\sqrt{2}m$
對(duì)B設(shè)勻加過(guò)程的加速度大小為a′
$x=L+l=\frac{1}{2}a′（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$
解得$a′=\frac{20（1+\sqrt{2}）}{9-4\sqrt{2}}m/{s}^{2}=\frac{340+260\sqrt{2}}{49}m/{s}^{2}$
答：（1）釘子距O點(diǎn)的距離的范圍為0.4m＞x＞0.2m
（2）B做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度大小為$\frac{340+260\sqrt{2}}{49}m/{s}^{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)能定理和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，抓住A物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與B物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，位移相同即可求解