Question

（2010?泰州模擬）在坐標(biāo)系xOy平面的第一象限內(nèi)，有一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小恒為B₀，方向垂直于xOy平面，且隨時(shí)間作周期性變化，如圖所示，規(guī)定垂直xOy平面向里的磁場(chǎng)方向?yàn)檎�．一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為q的正粒子，在t=0時(shí)刻從坐標(biāo)原點(diǎn)以初速度v₀沿x軸正方向射入，不計(jì)重力的影響，經(jīng)過一個(gè)磁場(chǎng)變化周期T（未確定）的時(shí)間，粒子到達(dá)第Ⅰ象限內(nèi)的某點(diǎn)P，且速度方向仍與x軸正方向平行同向．則
（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是多大？
（2）若O、P連線與x軸之間的夾角為45°，則磁場(chǎng)變化的周期T為多大？
（3）因P點(diǎn)的位置隨著磁場(chǎng)周期的變化而變化，試求P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為多少？

Answer 1

分析：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．
（2）若O、P連線與x軸之間的夾角為45°，粒子在磁場(chǎng)變化的前后半個(gè)周期T內(nèi)速度的偏向角都是90°，運(yùn)動(dòng)時(shí)間都是粒子圓周運(yùn)動(dòng)周期的

1

4

，求出粒子圓周運(yùn)動(dòng)的周期，再求解磁場(chǎng)變化的周期T．
（3）根據(jù)幾何知識(shí)求出P點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)與粒子圓周運(yùn)動(dòng)半徑的關(guān)系．根據(jù)粒子在第一象限運(yùn)動(dòng)的條件求解P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值．

解答：解：
（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，根據(jù)牛頓第二定律得
       qv0B=m

v02

r

∴r=

mv0

qB

=4×10-3m
（2）O、P連線與x軸之間的夾角為45°，由運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，粒子經(jīng)兩個(gè)四分之一圓弧到達(dá)P點(diǎn)，設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)周期為T₀，由T₀=

2πr

v0

，得T₀=

2πm

qB

∴T=

T0

2

=

πm

qB

（3）設(shè)兩段圓弧的圓心OO的連線與y軸夾角為θ，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y，圓心O到y(tǒng)軸之間的距離為x，則由幾何關(guān)系，得
  y=2r+2rcosθ
  sinθ=

x

2r

保證粒子在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)，x≥r
當(dāng)θ=30⁰時(shí)，y取最大，
y_m=（2+

3

）r=

mv0

qB

=4×10-3
答：
（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是4×10^-3m．
（2）若O、P連線與x軸之間的夾角為45°，磁場(chǎng)變化的周期T=

πm

qB

．
（3）P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為4×10^-3m．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在交變磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)求解半徑是關(guān)鍵．