Question

7．如圖1所示，游樂場的過山車可以底朝上在豎直圓軌道上運(yùn)行，可抽象為圖2的模型．傾角為45°的直軌道AB、半徑R=10m的光滑豎直圓軌道和傾角為37°的直軌道EF分別通過水平光滑銜接軌道BC、C′E平滑連接，另有水平減速直軌道FG和EF平滑連接，EG間的水平距離l=40m．現(xiàn)有質(zhì)量m=500kg的過山車，從高h(yuǎn)=40m處的A點(diǎn)靜止下滑，經(jīng)BCDC′EF最終停在G點(diǎn)，過山車與軌道AB、EF間的動摩擦因數(shù)均為μ₁=0.2，與減速直軌道FG間的動摩擦因數(shù)μ₂=0.75．過山車可視為質(zhì)點(diǎn)，運(yùn)動中不脫離軌道，求：
（1）過山車運(yùn)動至圓軌道最低點(diǎn)C時的速度大��；
（2）過山車運(yùn)動至圓軌道最高點(diǎn)D時對軌道的作用力；
（3）減速直軌道FG的長度x．（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 （1）過山車從A到C的過程，由動能定理可求過山車運(yùn)動至圓軌道最低點(diǎn)C時的速度大小；
（2）過山車從C到D的過程，由動能定理可得經(jīng)過D點(diǎn)時的速度，在D點(diǎn)，由牛頓第二定律可求過山車運(yùn)動至圓軌道最高點(diǎn)D時軌道對過山車的作用力，從而求得過山車運(yùn)動對軌道的作用力．
（3）對C到G點(diǎn)的過程，運(yùn)用動能定理，求出減速軌道FG的長度x．

解答 解：（1）過山車從A到C的過程，由動能定理可得：
mgh-μ₁mgcos45°•$\frac{h}{sin45°}$=$\frac{1}{2}$mv_C²-0
代入數(shù)據(jù)解得：v_C=8$\sqrt{10}$m/s．
（2）過山車從C到D的過程，由動能定理可得：
-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv_C²
在D點(diǎn)，設(shè)軌道對過山車的彈力為N，由牛頓第二定律可得：
N+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：N=7000N
由牛頓第三定律可知，過山車運(yùn)動至圓軌道最高點(diǎn)D時對軌道的作用力為：
N′=N=7000N．
（3）對C到G點(diǎn)的過程，運(yùn)用動能定理得：
-mg（l-x）tan37°-μ₁mgcos37°•$\frac{l-x}{cos37°}$-μ₂mgx=0-$\frac{1}{2}$mv_C²
代入數(shù)據(jù)解得：x=30m
答：（1）過山車運(yùn)動至圓軌道最低點(diǎn)C時的速度大小為8$\sqrt{10}$m/s；
（2）過山車運(yùn)動至圓軌道最高點(diǎn)D時對軌道的作用力為7000N；
（3）減速直軌道FG的長度x為30m．

點(diǎn)評 本題考查了動能定理、牛頓第二定律和向心力的綜合運(yùn)用，要知道圓周運(yùn)動向心力的來源，運(yùn)用動能定理解題時，要合理地選擇研究的過程．