Question

15．如圖所示，一個很長的豎直放置的圓柱形磁鐵，產(chǎn)生一個中心輻射的磁場（磁場水平向外），其大小為B=$\frac{k}{r}$（其中r為輻射半徑），設(shè)一個與磁鐵同軸的圓形鋁環(huán)，半徑為R（大于圓柱形磁鐵的半徑），而彎成鋁環(huán)的鋁絲其橫截面積為S，圓環(huán)通過磁場由靜止開始下落，下落過程中圓環(huán)平面始終水平，已知鋁絲電阻率為ρ，密度為ρ₀，試求：
（1）圓環(huán)下落的速度為v時的電功率
（2）圓環(huán)下落的最終速度
（3）當(dāng)下落高度h時，速度最大，從開始下落到此時圓環(huán)消耗的電能．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢，抓住切割的有效長度求出感應(yīng)電動勢的大小，通過閉合電路歐姆定律求出電流的大小，從而求出圓環(huán)下落的速度為v時的電功率．
（2）當(dāng)重力等于安培力時，速度最大，根據(jù)平衡，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式、閉合電路歐姆定律以及安培力大小公式求出最終的速度大小．
（3）有能量守恒即可判斷

解答 解：（1）由題意知圓環(huán)所在處在磁感應(yīng)強度B為：B=$\frac{k}{R}$
當(dāng)環(huán)速度為v時，切割磁感線產(chǎn)生的電動勢為：E=Blv=2kπv
電流為：I=$\frac{E}{{R}_{電}}$=$\frac{kvS}{ρR}$    
電功率為：P=I²R_電=$\frac{2π{k}^{2}{v}^{2}S}{ρR}$
（2）當(dāng)圓環(huán)加速度為零時，有最大速度v_m
此時F_安=BIL=$\frac{2π{k}^{2}{v}_{m}S}{ρR}$
由平衡條件mg=F_安
又m=2πRρ₀S
聯(lián)立⑧⑨⑩解得v_m=$\frac{ρ{ρ}_{0}{R}^{2}g}{{k}^{2}}$
（3）由能量守恒定律mgh=$\frac{1}{2}$mv_m²+Q
解得Q=mgh-$\frac{1}{2}$mv_m²=2πρ₀RS（gh-$\frac{1}{2}$$\frac{{{ρ}^{2}ρ}_{0}^{2}{R}^{4}{g}^{2}}{{k}^{4}}$）
答：（1）圓環(huán)下落的速度為v時的電功率$\frac{2π{k}^{2}{v}^{2}S}{ρR}$
（2）圓環(huán)下落的最終速度$\frac{ρ{ρ}_{0}{R}^{2}g}{{k}^{2}}$
（3）當(dāng)下落高度h時，速度最大，從開始下落到此時圓環(huán)消耗的電能2πρ₀RS（gh-$\frac{1}{2}$$\frac{{{ρ}^{2}ρ}_{0}^{2}{R}^{4}{g}^{2}}{{k}^{4}}$）

點評 本題考查電磁感應(yīng)與力學(xué)以及能量的綜合，掌握切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式、閉合電路歐姆定律等知識，知道當(dāng)重力等于安培力時，速度最大