Question

14．月球自轉(zhuǎn)一周的時間與月球繞地球運行一周的時間相等，都為T₀．我國的“嫦娥l號”探月衛(wèi)星于2007年11月7日成功進入繞月運行的“極月圓軌道”，這一圓形軌道通過月球兩極上空，距月面的高度為h．若月球質(zhì)量為M，月球半徑為R，萬有引力恒量為G．
（1）求“嫦娥l號”繞月運行的周期．
（2）在月球自轉(zhuǎn)一周的過程中，“嫦娥l號”將繞月運行多少圈？
（3）“嫦娥l號”攜帶了一臺CCD攝相機（攝相機拍攝不受光照影響），隨著衛(wèi)星的飛行，攝像機將對月球表面進行連續(xù)拍攝．要求在月球自轉(zhuǎn)一周的時間內(nèi)，將月面各處全部拍攝下來，攝像機拍攝時拍攝到的月球表面寬度至少是多少？

Answer 1

分析 （1）“嫦娥1號”軌道半徑為r=R+h，根據(jù)月球?qū)Α版隙?號”萬有引力等于“嫦娥1號”所需要的向心力列方程求解“嫦娥1號”繞月運行的周期T．
（2）在月球自轉(zhuǎn)一周的過程中，“嫦娥1號”繞月運行的圈數(shù)等于“嫦娥1號”的周期與月球自轉(zhuǎn)周期之比．
（3）攝像機只要將月球的“赤道”拍攝全，便能將月面各處全部拍攝下來；衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)一周可對月球“赤道”拍攝兩次，由拍攝到的月球表面寬度與月球周長的關(guān)系求解．

解答 解：（1）“嫦娥1號”軌道半徑r=R+h，
          G$\frac{mM}{r^2}$=m$\frac{{4{π^2}}}{{T_{\;}^2}}$r  
    可得“嫦娥1號”衛(wèi)星繞月周期T=2π$\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{GM}}$
   （2）在月球自轉(zhuǎn)一周的過程中，“嫦娥1號”將繞月運行圈數(shù)$n=\frac{T_0}{T}=\frac{T_0}{2π}\sqrt{\frac{GM}{{{{（R+h）}^3}}}}$
   （3）攝像機只要將月球的“赤道”拍攝全，便能將月面各處全部拍攝下來；衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)一周可對月球“赤道”拍攝兩次，所以攝像機拍攝時拍攝到的月球表面寬度至少為$s=\frac{2πR}{2n}=\frac{{2{π^2}R}}{T_0}\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{GM}}$
答：（1）“嫦娥1號”繞月運行的周期為2π$\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{GM}}$．
    （2）在月球自轉(zhuǎn)一周的過程中，“嫦娥1號”將繞月運行$\frac{{T}_{0}}{2π}\sqrt{\frac{GM}{（R+h）^{3}}}$圈．
    （3）要求在月球自轉(zhuǎn)一周的時間內(nèi)，將月面各處全部拍攝下來，攝像機拍攝時拍攝到的月球表面寬度至少是$\frac{2{π}^{2}R}{{T}_{0}}\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{GM}}$．

點評 本題考查應用物理知識分析研究科技成果的能力，基本原理：建立模型，運用萬有引力等于向心力研究．