Question

5．如圖，兩光滑平行不計(jì)內(nèi)阻的直線金屬導(dǎo)軌頂端用電阻R連接，兩導(dǎo)軌及軌道平面與水平面的夾角為30°，導(dǎo)軌間距為d．在導(dǎo)軌間一長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)分布著一垂直于導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，長(zhǎng)方形區(qū)域沿導(dǎo)軌方向的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)．在磁場(chǎng)區(qū)域上方有兩金屬桿a、b，它們的質(zhì)量均為m，內(nèi)阻均為$\frac{R}{2}$，垂直于兩導(dǎo)軌與導(dǎo)軌接觸良好．一開(kāi)始將金屬桿a固定，釋放金屬桿b，金屬桿b在磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)金屬桿b離開(kāi)導(dǎo)軌后將金屬桿a釋放，結(jié)果金屬桿a也在磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)．若重力加速度為g，試求：
（1）一開(kāi)始金屬桿a、b的間距；
（2）電阻R上總共釋放的熱量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a、b桿在磁場(chǎng)中做勻速運(yùn)動(dòng)，結(jié)合平衡得出電流的大小，根據(jù)串并聯(lián)電路的特點(diǎn)以及切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式以及動(dòng)能定理分別求出開(kāi)始時(shí)a、b距離磁場(chǎng)的距離，從而得出一開(kāi)始金屬桿a、b的間距；
（2）a、b在磁場(chǎng)中做勻速運(yùn)動(dòng)，結(jié)合重力勢(shì)能的減小量等于整個(gè)回路產(chǎn)生的內(nèi)能，結(jié)合電路分配分別求出兩次電阻R上產(chǎn)生的熱量，從而得出電阻R上總共釋放的熱量．

解答 解：（1）a桿或b桿在磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)受力平衡，有：
BId=mgsinθ
得：I=$\frac{mgsinθ}{Bd}$=$\frac{mg}{2Bd}$…①
b桿在磁場(chǎng)中時(shí)，a與R并聯(lián)再與b串聯(lián)，回路總電阻為：
R₁=$\frac{R}{2}$+$\frac{1}{\frac{1}{\frac{R}{2}}+\frac{1}{R}}$=$\frac{5}{6}R$…②
設(shè)b桿在磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)速度為v₁，由閉合回路歐姆定律有：
I=$\frac{Bd{v}_{1}}{{R}_{1}}$…③
設(shè)b桿開(kāi)始離磁場(chǎng)上邊界的距離為l₁，在進(jìn)磁場(chǎng)前根據(jù)動(dòng)能定理有：
mgl₁sinθ=$\frac{1}{2}$mv₁²…④
由以上各式可得：
l₁=$\frac{25{m}^{2}g{R}^{2}}{288{B}^{4}ndplb19^{4}}$…⑤
a桿在磁場(chǎng)中時(shí)，a與R串聯(lián)，回路總電阻為：
R₂=$\frac{R}{2}$+R=$\frac{3}{2}R$…⑥
由③～⑤同理可得，a最初與磁場(chǎng)上邊界距離
l₂=$\frac{9{m}^{2}g{R}^{2}}{32{B}^{4}nhvbthp^{4}}$…⑦
a、b桿的初始距離為：
l₂-l₁=$\frac{7{m}^{2}g{R}^{2}}{36{B}^{4}l3r33rt^{4}}$…⑧
（2）b桿在磁場(chǎng)中時(shí)，b桿減少的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為電能，再由電路分配，R此時(shí)釋放熱量為：
Q₁=$\frac{\frac{R}{3}}{{R}_{1}}×\frac{\frac{R}{2}}{R+\frac{R}{2}}•$mgLsinθ=$\frac{1}{15}mgL$   
a桿在磁場(chǎng)中時(shí)，a桿減少的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為電能，再由電路分配，R此時(shí)釋放熱量為：
Q₂=$\frac{R}{\frac{1}{2}R+R}$ mgLsinθ=$\frac{1}{3}mgL$        
R總共放熱為：
Q=Q₁₊Q₂=$\frac{2}{5}$mgL．
答：（1）一開(kāi)始金屬桿a、b的間距為$\frac{7{m}^{2}g{R}^{2}}{36{B}^{4}f9np13b^{4}}$；
（2）電阻R上總共釋放的熱量為$\frac{2}{5}$mgL．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問(wèn)題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問(wèn)題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問(wèn)題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．