Question

如圖所示，為某種新型設(shè)備內(nèi)部電、磁場分布情況圖．自上而下分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個區(qū)域．區(qū)域Ⅰ寬度為d₁，分布有沿紙面向下的勻強(qiáng)電場E₁；區(qū)域Ⅱ?qū)挾葹閐₂，分布有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場B₁；寬度可調(diào)的區(qū)域Ⅲ中分布有沿紙面向下的勻強(qiáng)電場E₂和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場B₂．現(xiàn)在有一群質(zhì)量和帶電量均不同的帶電粒子從區(qū)域Ⅰ上邊緣的注入孔A點(diǎn)被注入，從靜止開始運(yùn)動，然后相繼進(jìn)入Ⅱ、Ⅲ兩個區(qū)域，滿足一定條件的粒子將回到區(qū)域Ⅰ，其他粒子則從區(qū)域Ⅲ飛出．三區(qū)域都足夠長，粒子的重力不計．
已知能飛回區(qū)域Ⅰ的帶電粒子的質(zhì)量為m=6.4×10^-27㎏，帶電量為q=3.2×10^-19C，且d₁=10cm，d₂=5

2

cm，d₃＞10cm，E₁=E₂=40v/m，B₁=4×10^-3T，B₂=2

2

×10^-3T．試求：
（1）該帶電粒子離開區(qū)域Ⅰ時的速度．  
（2）該帶電粒子離開區(qū)域Ⅱ時的速度．
（3）該帶電粒子第一次回到區(qū)域Ⅰ的上邊緣時離開A點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析：粒子在電場E₁中做勻加速直線運(yùn)動，根據(jù)動能定理粒子剛進(jìn)入磁場B₁時的速度大小．粒子進(jìn)入磁場B₁中，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出粒子軌跡半徑，由幾何知識得出粒子離開區(qū)域Ⅱ時的速度方向．粒子進(jìn)入Ⅲ區(qū)域時，受到電場力和洛倫茲力，采用運(yùn)動的分解法，將粒子的速度分解為水平和豎直兩個方向，分別求出這兩個方向速度對的洛倫茲力，分析粒子水平方向的運(yùn)動情況：勻速直線運(yùn)動．分析與豎直速度對應(yīng)的洛倫茲力，分析得知粒子做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)勻速直線運(yùn)動和勻速圓周運(yùn)動的合成，由幾何知識求出能飛回區(qū)域Ⅰ的粒子第一次回到區(qū)域Ⅰ上邊緣時離A的距離．

解答：解：（1）粒子在電場E₁中運(yùn)動，由qE₁d₁=

1

2

mv²
得：v=2×10⁴m/s方向豎直向下
（2）粒子在B₁中偏轉(zhuǎn)，速度大小仍為
v=2×10⁴m/s
由qB₁v=m

v2

R1

可得方向：sinθ=

d2

R1

，
代入數(shù)據(jù)得：θ=45°所以帶電粒子離開區(qū)域Ⅱ時的速度方向與X軸正向45°角．
（3）設(shè)該帶電粒子離開區(qū)域Ⅱ也即進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅲ時的速度分解為v_x、v_y，則：
v_x=v_y=vsin45°=

2

×10⁴m/s
所以：qB₂v_x=qB₂v_y=1.28×10^-17N
qE₂=1.28×10^-17N
qE₂=qB₂v_x
所以帶電粒子在區(qū)域Ⅲ中運(yùn)動可視為沿X軸正向的速度為v_x的勻速直線運(yùn)動和以速率為v_y以及對應(yīng)洛侖茲力qB₂V作為向心力的勻速圓周運(yùn)動的疊加，軌道如圖所示：
R₂=

mvy

qB2

=10cm
T=

2πm

qB2

=

2

π×10^-5S
根據(jù)運(yùn)動的對稱性可知，帶電粒子回到區(qū)域Ⅰ的上邊緣的B點(diǎn)，
距A點(diǎn)的距離為：d=2[（1-cosθ）R₁+R₂+v_x

T

4

]代入數(shù)據(jù)可得：
d=40+10π-10

2

=57.26cm
答：（1）該帶電粒子離開區(qū)域Ⅰ時的速度為2×10⁴m/s，方向豎直向下．
  （2）該帶電粒子離開區(qū)域Ⅱ時的速度為2×10⁴m/s，方向與X軸正向45°角．
（3）該帶電粒子第一次回到區(qū)域Ⅰ的上邊緣時離開A點(diǎn)的距離為57.26cm．

點(diǎn)評：本題粒子在電場E₁中加速，根據(jù)動能定理求速度，在磁場B₁中偏轉(zhuǎn)，根據(jù)牛頓第二定律求半徑，畫軌跡，都是常用思路，難點(diǎn)是研究電場E₂和磁場B₂疊加區(qū)域，采用運(yùn)動的分解法研究粒子的運(yùn)動，不容易想到，有較大的難度．