Question

11．如圖為某種魚餌自動(dòng)投放器中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長(zhǎng)為2R的豎直細(xì)管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內(nèi)有一原長(zhǎng)為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧．投餌時(shí)，每次總將彈簧長(zhǎng)度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上段放置一粒魚餌，解除鎖定，彈簧可將魚餌彈射出去．設(shè)質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時(shí)，對(duì)管壁的作用力恰好為零．不計(jì)魚餌在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的機(jī)械能損失，且鎖定和解除鎖定時(shí)，均不改變彈簧的彈性勢(shì)能．已知重力加速度為g．求：
（1）質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時(shí)的速度大小v₁；
（2）彈簧壓縮到0.5R時(shí)的彈性勢(shì)能E_P；
（3）已知地面與水面相距1.5R，若使該投餌管繞AB管的中軸線OO^-在90°角的范圍內(nèi)來(lái)回緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，每次彈射時(shí)只放置一粒魚餌，魚餌的質(zhì)量在$\frac{2}{3}m$到m之間變化，且均能落到水面．持續(xù)投放足夠長(zhǎng)時(shí)間后，魚餌能夠落到水面的最大面積S是多少？

Answer 1

分析 （1）魚餌到達(dá)管口C時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力完全由重力提供，有牛頓第二定律列出向心力的方程，速度可求．
（2）不計(jì)魚餌在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的機(jī)械能損失，所以魚餌增加的機(jī)械能都是彈簧做功的結(jié)果，由功能關(guān)系知道彈簧具有的彈性勢(shì)能等于魚餌增加的機(jī)械能．
（3）分別求出質(zhì)量是m和$\frac{2}{3}m$的魚餌離開(kāi)C時(shí)的速度，再利用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出落到水平面到轉(zhuǎn)軸之間的距離，轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過(guò)90°時(shí)，魚餌在水平面形成兩個(gè)$\frac{1}{4}$圓面積，中間夾的環(huán)形面積即為所求．

解答 解：（1）在C點(diǎn)，由牛頓第二定律：$mg=m\frac{{{v_1}^2}}{R}$
可得  ${v_1}=\sqrt{gR}$
（2）從彈簧釋放到最高點(diǎn)C的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理有：
 ${W_F}+{W_G}=\frac{1}{2}m{v_1}^2-0$
則得彈簧的彈力做功 ${W_F}-mg（2.5R）=\frac{1}{2}m{（\sqrt{gR}）^2}-0$
解得 W_F=3mgR
故彈簧壓縮到0.5R時(shí)的彈性勢(shì)能 E_P=W_F=3mgR
（3）魚餌離開(kāi)管口C后做平拋運(yùn)動(dòng)，平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×4.5R}{g}}=3\sqrt{\frac{R}{g}}$
魚餌的質(zhì)量為m時(shí)，水平射程為：x₁=v₁t=3R
魚餌的質(zhì)量為$\frac{2}{3}m$時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理得
  W_F-$\frac{2}{3}mg$•（2.5R）=$\frac{1}{2}（\frac{2}{3}m）v{′}^{2}$-0
解得 v′=2$\sqrt{gR}$
水平射程 x₂=v′t=6R
r₁=x₁+r=4R，r₂=x₂+r=7R
故魚餌能夠落到水面的最大面積 $s=\frac{1}{4}（π{r_2}^2-π{r_1}^2）$  
解得 s=8.25πR²．
答：（1）質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時(shí)的速度大小v₁是$\sqrt{gR}$．
（2）彈簧壓縮到0.5R時(shí)的彈性勢(shì)能E_P是3mgR．
（3）魚餌能夠落到水面的最大面積S是8.25πR²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程和平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過(guò)90°魚餌在水平面上形成圓周是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．