Question

如圖，一個(gè)很長(zhǎng)的豎直放置的圓柱形磁鐵，產(chǎn)生一個(gè)輻射狀的磁場(chǎng)（磁場(chǎng)水平向外），其大小為B=K/r，r為半徑，設(shè)一個(gè)與磁鐵同軸的圓形鋁環(huán)，半徑為R（大于圓柱形磁鐵半徑），而彎成鋁環(huán)的鋁絲其截面積為S，鋁絲電阻率為ρ，密度為ρ₀．鋁環(huán)通過(guò)磁場(chǎng)由靜止開(kāi)始下落，下落過(guò)程中鋁環(huán)平面始終保持水平．試求：
（1）鋁環(huán)下落速度為v時(shí)的電功率？
（2）鋁環(huán)下落的最終速度？
（3）當(dāng)下落h高度時(shí)，速度最大，此過(guò)程中圓環(huán)消耗的電能？

Answer 1

（1）由題意知圓環(huán)所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=

K

R

，圓環(huán)的有效切割長(zhǎng)度為其周長(zhǎng)，即L=2πR，
圓環(huán)的電阻R₀=ρ

L

S

=ρ

2πR

S

，當(dāng)圓環(huán)的速度為v時(shí)，切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)E=BLv=2kπv，
圓環(huán)中的電流I=

KvS

ρR

，圓環(huán)速度為v時(shí)電功率P=I²R₀
聯(lián)立以上各式解得：P=

2πSk2v2

ρR

（2）當(dāng)圓環(huán)加速度為零時(shí)，有最大速度v_m，此時(shí)安培力F=BIL=

2πSk2 vm

ρR

由平衡條件可知：mg=F，圓環(huán)的質(zhì)量m=ρ₀S?2πR
 解得：v_m=

ρρ0gR2

k2

（3）由能量守恒定律得：
mgh=

1

2

m

v

2m

+Q 
解得：Q=2πρ₀RS[gh-

1

2

（

ρρ0gR2

k2

）²]
答：（1）鋁環(huán)下落速度為v時(shí)的電功率是

2πSk2v2

ρR

（2）鋁環(huán)下落的最終速度是

ρρ0gR2

k2

（3）當(dāng)下落h高度時(shí)，速度最大，此過(guò)程中圓環(huán)消耗的電能是2πρ₀RS[gh-

1

2

（

ρρ0gR2

k2

）²]．