Question

2．如圖甲所示，與水平面成θ角的兩根足夠長的平行絕緣導軌，間距為L，導軌間有垂直導軌平面方向、等距離間隔的勻強磁場B₁和B₂，B₁和B₂的方向相反，大小相等，即B₁=B₂=B；導軌上有一質量為m的矩形金屬框abcd，其總電阻為R，框的寬度ab與磁場間隔相同，框與導軌間動摩擦因數(shù)為?；開始時，金屬框靜止不動，重力加速度為g；

（1）若磁場以某一速度沿直導軌向上勻速運動時，金屬框恰好不上滑，求金屬框中電流大小；
（2）若磁場以速度v₀沿直導軌向上勻速運動，金屬框也會沿直導軌向上勻速運動，為了維持金屬框的勻速運動，求磁場提供的最小功率；
（3）若t=0時磁場沿直導軌向上做勻加速直線運動；金屬框經(jīng)一段時間也由靜止開始沿直導軌向上運動，其v-t關系如圖乙所示（CD段為直線，△t、v₁為已知）；求磁場的加速度大�。�

Answer 1

分析 （1）依據(jù)金屬框恰好不上滑，結合受力分析，及平衡條件，即可求解金屬框中的電流；
（2）根據(jù)磁場提供的最小功率，結合切割感應電動勢，及閉合電路歐姆定律，與平衡條件，即可求解；
（3）對金屬框圖乙中A點受力分析，依據(jù)平衡條件，及切割感應電動勢，及閉合電路歐姆定律，再對對金屬框圖乙中C點，利用牛頓第二定律，及運動學公式，即可求解．

解答 解：（1）金屬框恰好不上滑，由平衡條件：F_安=mgsinθ+μmgcosθ
而F_安=2BIL
解得：I=$\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{2BL}$
（2）由能量守恒可得，P=I²R+mgv′sinθ+μmgv′cosθ （其中v′為金屬框勻速運動的速度）
金屬框中電動勢為：E=2BL（v-v′）    
金屬框中電流為：I=$\frac{E}{R}$                    
對金屬框由平衡條件：2BIL=mgsinθ+μmgcosθ
解得：P=（mgsinθ+μmgcosθ）v
（3）
對金屬框圖乙中A點：
由平衡條件：2BIL=mgsinθ+μmgcosθ
金屬框中電動勢為：E=2BLv₀（其中v₀為磁場運動的瞬時速度）
金屬框中電流為：I=$\frac{E}{R}$ 
對金屬框圖乙中C點：
由牛頓第二定律：2BI1L-（mgsinθ+μmgcosθ）=m
金屬框中電動勢為：E1=2BL（vt-v1）（其中v_t為磁場運動的瞬時速度）
金屬框中電流為：I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$
磁場勻加速運動的加速度大小等于金屬框勻加速運動的加速度大小，
對磁場v_t=v0+a△t  
解得：a=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{4{B}^{2}{L}^{2}△t-mR}$
答：（1）金屬框中電流大�。�
（2）磁場提供的最小功率；
（3）磁場的加速度大小．

點評 由于磁場運動使得穿過線框的磁通量發(fā)生變化，線框中產(chǎn)生感應電流，感應電流在磁場中又受到安培力從而使線框開始沿磁場運動方向做加速運動，需要注意的是使電路產(chǎn)生感應電動勢的速度v₂，不是線框的速度而是線框相對于磁場運動的速度即v₁-v₂，這是解決本題的關鍵所在；另當線框加速運動時，能通過運動分析確定磁場的加速度必須和線框的加速度相同時，線框才能做勻加速運動．
第二個問：
解法二：
由功能關系可得，磁場提供的最小功率等于磁場克服安培力做功的功率，
P=F_安v
對金屬框由平衡條件：F_安=mgsinθ+μmgcosθ
解得：P=（mgsinθ+μmgcosθ）v．