Question

16．如圖所示，傾斜軌道AB的傾角為37°，CD、EF軌道水平，AB與CD通過(guò)光滑圓弧管道BC連接，CD右端與豎直光滑圓周軌道相連．小球可以從D進(jìn)入該軌道，沿軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，從E滑出該軌道進(jìn)入EF水平軌道．小球由靜止從A點(diǎn)釋放，已知AB長(zhǎng)為5R，CD長(zhǎng)為R，重力加速度為g，小球與斜軌AB及水平軌道CD、EF的動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，圓弧管道BC入口B與出口C的高度差為1.8R．求：
（1）小球滑到斜面底端C時(shí)速度的大�。�
（2）小球?qū)�剛到C時(shí)對(duì)軌道的作用力．
（3）要使小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不脫離軌道，豎直圓周軌道的半徑R′應(yīng)該滿足什么條件？若R′=2.5R，小球最后所停位置距D（或E）多遠(yuǎn)？注：在運(yùn)算中，根號(hào)中的數(shù)值無(wú)需算出．

Answer 1

分析 （1）對(duì)球從A運(yùn)動(dòng)至C過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解即可；
（2）在C點(diǎn)，重力和支持力的合力提供向心力；根據(jù)牛頓第二定律列式求解支持力；然后再結(jié)合牛頓第三定律求解壓力；
（3）要使小球不脫離軌道，有兩種情況：情況一：小球能滑過(guò)圓周軌道最高點(diǎn)，進(jìn)入EF軌道．情況二：小球上滑至四分之一圓軌道的點(diǎn)（設(shè)為Q）時(shí)，速度減為零，然后滑回D．由動(dòng)能定理列出等式求解．

解答 解：（1）設(shè)小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度為v，a球從A運(yùn)動(dòng)至C過(guò)程，由動(dòng)能定理有：
mg（5Rsin37°+1.8R）-μmgcos37°•5R=$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$
可得：${v}_{C}=\sqrt{5.6gR}$
（2）小球沿BC軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)在C點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)球的作用力為N，由牛頓第二定律，有：
$N-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{r}$
其中r滿足：
r+r•sin53°=1.8R
聯(lián)立上式可得：
N=6.6mg
由牛頓第三定律可得，球?qū)�軌道的作用力�?.6mg，方向豎直向下． 
（3）要使小球不脫離軌道，有兩種情況：
情況一：小球能滑過(guò)圓周軌道最高點(diǎn)，進(jìn)入EF軌道．則小球在最高點(diǎn)P應(yīng)滿足：
$m\frac{{{v}_{P}}^{2}}{R′}≥mg$
小球從C直到P點(diǎn)過(guò)程，由動(dòng)能定理，有：
$-μmgR-mg•2R′=\frac{1}{2}m{{v}_{P}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$
可得：
$R′≤\frac{23}{25}R=0.92R$
情況二：小球上滑至四分之一圓軌道的Q點(diǎn)時(shí)，速度減為零，然后滑回D．則由動(dòng)能定理有：
$-μmgR-mg•2R′=0-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$
解得：R′≥2.3R
但R′最大是圓弧軌道與斜面相切，結(jié)合幾何關(guān)系，對(duì)應(yīng)的軌道半徑為：
若R′=2.5R，由上面分析可知，小球必定滑回D，設(shè)其能向左滑過(guò)DC軌道，并沿CB運(yùn)動(dòng)到達(dá)B點(diǎn)，在B點(diǎn)的速度為v_B，則由能量守恒定律有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}+mg•1.8R+2μmgR$
可得：
v_B=0
故知，小球不能滑回傾斜軌道AB，小球?qū)⒃趦蓤A軌道之間做往返運(yùn)動(dòng)，小球?qū)⑼Ｔ贑D軌道上的某處．設(shè)小球在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的總路程為S，則由能量守恒定律，有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=μmgS$
聯(lián)立解得：
S=5.6R
所以知，b球?qū)⑼Ｔ贒點(diǎn)左側(cè)，距D點(diǎn)0.6R處．
答：（1）小球滑到斜面底端C時(shí)速度的大小為$\sqrt{5.6gR}$；
（2）小球?qū)�剛到C時(shí)對(duì)軌道的作用力為6.6mg；
（3）要使小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不脫離軌道，豎直圓周軌道的半徑R′應(yīng)該滿足：R′≤0.92R或R′≥2.3R；若R′=2.5R，小球最后所停位置距D點(diǎn)0.6R處

點(diǎn)評(píng) 此題要求熟練掌握動(dòng)能定理、能量守恒定律、圓周運(yùn)動(dòng)等規(guī)律，包含知識(shí)點(diǎn)多，難度較大，屬于難題．