Question

1．如圖（甲）所示，兩平行金屬板間接有如圖（乙）所示的隨時(shí)間t變化的電壓U，兩板間電場(chǎng)可看作是均勻的，且兩板外無電場(chǎng)，極板長(zhǎng)L=0.2m，板間距離d=0.2m，在金屬板右側(cè)有一邊界為MN的區(qū)域足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN與兩板中線OO′垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5×10^-3T，方向垂直紙面向里，現(xiàn)有帶正電的粒子流沿兩板中線OO′連續(xù)射入電場(chǎng)中，已知每個(gè)粒子的速度v₀=10⁵m/s，比荷$\frac{q}{m}$=10⁸C/kg，重力忽略不計(jì)，在每個(gè)粒子通過電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)可視作是恒定不變的．

（1）試求兩板間加上多大電壓時(shí)才能使帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場(chǎng)；
（2）試求帶電粒子離開電場(chǎng)時(shí)獲得的最大速度；
（3）證明任意時(shí)刻從電場(chǎng)射出的帶電粒子，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)在MN上的入射點(diǎn)和出磁場(chǎng)時(shí)在MN上的出射點(diǎn)間的距離為定值：

Answer 1

分析 （1）當(dāng)兩板間所能加的電壓最大時(shí)，粒子射出電場(chǎng)的速度最大．根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解和動(dòng)能定理結(jié)合求出最大速度．
（2）帶電粒子從極板的邊緣射出電場(chǎng)時(shí)速度最大，根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)沿電場(chǎng)方向上的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，求出偏轉(zhuǎn)的電壓，根據(jù)動(dòng)能定律求出射出電場(chǎng)的最大速度．
（3）畫出軌跡，由幾何知識(shí)找出該距離與軌跡半徑的關(guān)系來證明．

解答 解：（1）設(shè)兩板間電壓為U₁時(shí)，粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場(chǎng)，則有
  $\frac57bzrzz{2}$=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{{U}_{1}q}{md}（\frac{L}{{v}_{0}}）^{2}$
代入數(shù)據(jù)，解得：U₁=100V；
（2）粒子剛好從極板邊緣射出電場(chǎng)時(shí)，速度最大，設(shè)最大速度為v₁．
則有：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+q$•\frac{{U}_{1}}{2}$
解得：v₁=$\sqrt{2}$×10⁵m/s=1.414×10⁵m/s；
（3）設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與OO′夾角為θ，
則速度大小 v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑 R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{m{v}_{0}}{qBcosθ}$
粒子從磁場(chǎng)中飛出的位置與進(jìn)入磁場(chǎng)的位置之間的距離s=2Rcosθ=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$
代入數(shù)據(jù)解得：s=0.4m，
s與θ無關(guān)，即射出電場(chǎng)的任何一個(gè)帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的入射點(diǎn)與出射點(diǎn)間距離恒為定值．
答：
（1）兩板間加上100V的電壓時(shí)才能使帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場(chǎng)；
（2）帶電粒子離開電場(chǎng)時(shí)獲得的最大速度是1.414×10⁵m/s；
（3）證明見上．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)解題一般程序是：
  1、畫軌跡：確定圓心，幾何方法求半徑并畫出軌跡．
  2、找聯(lián)系：軌跡半徑與磁感應(yīng)強(qiáng)度、速度聯(lián)系；偏轉(zhuǎn)角度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間相聯(lián)系，時(shí)間與周期聯(lián)系．
  3、用規(guī)律：牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律．