Question

13．如圖所示，電阻不計(jì)的平行的金屬導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，下端通過一阻值為R的電阻相連，寬度為x₀的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直導(dǎo)軌平面向上，磁感強(qiáng)度為B．一電阻不計(jì)，質(zhì)量為m的金屬棒獲得沿導(dǎo)軌向上的初速度后穿過磁場(chǎng)，離開磁場(chǎng)后繼續(xù)上升一段距離后返回，并勻速進(jìn)入磁場(chǎng)，金屬棒與導(dǎo)軌間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為μ，不計(jì)空氣阻力，且整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中金屬棒始終與導(dǎo)軌垂直．
（1）金屬棒向上穿越磁場(chǎng)過程中通過R的電量q；
（2）金屬棒下滑進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v₂；
（3）金屬棒向上離開磁場(chǎng)時(shí)的速度v₁；
（4）若金屬棒運(yùn)動(dòng)過程中的空氣阻力不能忽略，且空氣阻力與金屬棒的速度的關(guān)系式為f=kv，其中k為一常數(shù)．在金屬棒向上穿越磁場(chǎng)過程中克服空氣阻力做功W，求這一過程中金屬棒損耗的機(jī)械能△E．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)電量與電流的關(guān)系、法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律求解電量．
（2）金屬棒下滑進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，受力平衡，由平衡條件和安培力與速度的關(guān)系，求解速度v₂．
（3）對(duì)于金屬棒離開磁場(chǎng)的過程，分上滑和下滑兩個(gè)過程，分別運(yùn)用動(dòng)能定理列式，即可求得速度v₁．
（4）金屬棒損耗的機(jī)械能△E等于克服安培力、空氣阻力和摩擦力做功，由安培力與速度的關(guān)系式得到克服安培力做功，即可求得．

解答 解：（1）金屬棒向上穿越磁場(chǎng)過程中通過R的電量為：
q=$\overline{I}$△t=$\frac{\overline{E}△t}{R}$=$\frac{△Φ}{R}$=$\frac{BL{x}_{0}}{R}$；

（2）導(dǎo)體棒返回磁場(chǎng)處處于平衡狀態(tài)，則有：
mgsinθ=μmgcosθ+BIL
又 I=$\frac{BL{v}_{2}}{R}$
聯(lián)立得：v₂=$\frac{mg（sinθ-μcosθ）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$；

（3）對(duì)于金屬棒離開磁場(chǎng)的過程，設(shè)上滑的最大距離為s，由動(dòng)能定理得：
 上滑有：-（mgsinθ+μmgcosθ）s=0-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
 下滑有：（mgsinθ-μmgcosθ）s=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得：v₁=$\sqrt{\frac{sinθ+μcosθ}{sinθ-μcosθ}}$v₂=$\sqrt{\frac{sinθ+μcosθ}{sinθ-μcosθ}}$•$\frac{mg（sinθ-μcosθ）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$$\sqrt{si{n}^{2}θ-{μ}^{2}co{s}^{2}θ}$；

（4）設(shè)金屬棒克服安培力做功為W_安．
 因f=kv，F(xiàn)_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
所以F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}f}{kR}$
則得：W_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{kR}$W
根據(jù)功能關(guān)系得金屬棒損耗的機(jī)械能為：
△E=μmgcosθx₀+W_安+W=μmgcosθx₀+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{kR}$W+W．
答：（1）金屬棒向上穿越磁場(chǎng)過程中通過R的電量q為$\frac{BL{x}_{0}}{R}$；
（2）金屬棒下滑進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v₂為$\frac{mg（sinθ-μcosθ）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（3）金屬棒向上離開磁場(chǎng)時(shí)的速度v₁為$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$$\sqrt{si{n}^{2}θ-{μ}^{2}co{s}^{2}θ}$．
（4）金屬棒損耗的機(jī)械能△E為μmgcosθx₀+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{kR}$W+W．

點(diǎn)評(píng) 電磁感應(yīng)現(xiàn)象中產(chǎn)生的電量表達(dá)式q=$\frac{△Φ}{R}$和安培力表達(dá)式F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，都是經(jīng)常用到的經(jīng)驗(yàn)公式，要學(xué)會(huì)推導(dǎo)．