Question

12．如圖，在水平方向的勻強電場中有一表面光滑、與水平面成45°角的絕緣直桿ab，其下端（b端）距地面高度h=0.8m．一質(zhì)量為1kg的帶電小環(huán)套在直桿上，正以某速度沿桿勻速下滑，小環(huán)離桿后正好通過b端的正下方c點處．（取b為零勢能點，g取10m/s²），求：
（1）小環(huán)離開直桿后運動的加速度大小和方向．
（2）小環(huán)在直桿上運動的動能．
（3）小環(huán)運動到c點的動能．
（4）小環(huán)從b到c運動過程中的機械能最小值．

Answer 1

分析 （1）小環(huán)在光滑絕緣直桿上勻速下滑時，由共點力平衡條件可判斷出電場力方向，根據(jù)平衡條件求出電場力；當小環(huán)離開直桿后，小環(huán)只受重力與電場力，由牛頓第二定律可求出離開后的加速度大小與方向；
（2）小環(huán)離開直桿后，所受合力恰與速度方向垂直，因此做的類平拋運動．當小環(huán)從b到c過程中，電場力做功剛好為零，動能的變化完全由重力做功引起．小環(huán)離開直桿后做類平拋運動，水平方向是勻減速直線運動，豎直方向是勻加速直線運動，列式后聯(lián)立得到小環(huán)在直桿上運動的動能；
（3）根據(jù)動能定理求解小環(huán)運動到c點時的動能；
（4）小環(huán)從b到c運動過程中，克服靜電力做功最大時，機械能最�。�

解答 解：（1）小環(huán)沿ab桿勻速下滑過程，小環(huán)共受3個力，電場力方向水平向左，受力分析如圖所示：
根據(jù)平衡條件，有：
F=mgtan45°=10N
圓環(huán)離開直桿后，只受重力和電場力，
F_合=$\sqrt{2}$mg=ma
則加速度為：
a=$\sqrt{2}g$=10$\sqrt{2}$m/s²
方向與水平方向成45°向左下方；
（2）環(huán)離開桿做類平拋運動；
水平方向做勻減速運動：$x=（{v}_{0}cos45°）t-\frac{1}{2}a{t}^{2}=0$ 
豎直方向做勻加速運動：$y={v}_{0}sin45°t+\frac{1}{2}g{t}^{2}=h$ 
解得：v₀=2m/s
故小環(huán)在直桿上運動的動能：
${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×{2}^{2}$=2J
（3）對從b到c過程，根據(jù)動能定理，有：
mgh=E_k′-E_k
解得：E_k′=mgh+E_k=1×10×0.8+2=10J
（4）小環(huán)從b到c運動過程中，克服靜電力做功最大時，水平分位移最大，水平分速度為零，故：
x=$\frac{{v}_{x}^{2}}{2{a}_{x}}=\frac{（\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}）^{2}}{2×g}$=0.8m
故最小機械能為：E_min=（mgh+E_k）-Fx=10-10×0.8=2J
答：（1）小環(huán)離開直桿后運動的加速度大小為10$\sqrt{2}$m/s²，方向與水平方向成45°向左下方．
（2）小環(huán)在直桿上運動的動能為2J．
（3）小環(huán)運動到c點的動能為10J．
（4）小環(huán)從b到c運動過程中的機械能最小值為2J．

點評 本題考查帶電粒子在電場與重力場共同作用下的運動，在直桿的束縛下的勻速直線運動與沒有束縛下的類平拋運動．重點突出對研究對象的受力分析與運動分析，結(jié)合運動學公式、牛頓第二定律與動能定理等物理規(guī)律．