Question

20．某星球的半徑為R，在該星球表面某一傾角為θ的山坡上以初速度v₀平拋一物體，經(jīng)過時間t該物體落到山坡上．（不計一切阻力）
（1）該星球表面重力加速度多大？
（2）為了測該星球的自轉(zhuǎn)周期，從該星球發(fā)射一顆同步衛(wèi)星，已知同步衛(wèi)星離該星球表面高度為h，求該星球的自轉(zhuǎn)周期．

Answer 1

分析 （1）物體做平拋運動，應(yīng)用平拋運動規(guī)律可以求出重力加速度．
（2）衛(wèi)星繞星球做圓周運動，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律求出同步衛(wèi)星的周期，即星球自轉(zhuǎn)的周期．

解答 解：（1）物體做平拋運動，
水平方向：x=v₀t，
豎直方向：y=$\frac{1}{2}$gt²，
由幾何關(guān)系可知：tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$，
解得：g=$\frac{2{v}_{0}}{t}$tanθ；
（2）星球表面的物體受到的重力等于萬有引力，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
同步衛(wèi)星做圓周運動，萬有引力提供向心力，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+h），
解得：T=2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}t}{2{v}_{0}{R}^{2}tanθ}}$；
答：（1）該星球表面重力加速度為$\frac{2{v}_{0}}{t}$tanθ；
（2）該星球的自轉(zhuǎn)周期為2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}t}{2{v}_{0}{R}^{2}tanθ}}$．

點評 本題是一道萬有引力定律應(yīng)用與運動學相結(jié)合的綜合題，考查了求重力加速度、星球自轉(zhuǎn)的周期，應(yīng)用平拋運動規(guī)律與萬有引力公式、牛頓第二定律可以解題；解題時要注意“黃金代換”的應(yīng)用．