Question

如圖所示，傾角為α的斜面體（斜面光滑且足夠長(zhǎng)）固定在水平地面上，斜面頂端與勁度系數(shù)為k、自然長(zhǎng)度為l的輕質(zhì)彈簧相連，彈簧的另一端連接著質(zhì)量為m的物塊．壓縮彈簧使其長(zhǎng)度為

3

4

L時(shí)將物塊由靜止開始釋放（物快做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)），且物塊在以后的運(yùn)動(dòng)中，斜面體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)．重力加速度為g．
（1）求物塊處于平衡位置時(shí)彈簧的長(zhǎng)度；
（2）物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅是多少；
（3）選物塊的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿斜面向下為正方向建立坐標(biāo)軸，用x表示物塊相對(duì)于平衡位置的位移，證明物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；（已知做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體所受的恢復(fù)力滿足 F=-kx）

Answer 1

分析：（1）物體平衡時(shí)，受重力、支持力和彈簧的彈力，三力平衡，根據(jù)平衡條件并結(jié)合正交分解法和胡克定律列式求解；
（2）物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅等于物體處于平衡位置時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量與開始的壓縮量的和；
（3）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，合力充當(dāng)回復(fù)力，滿足條件F=-kx．

解答：解：（1）物體平衡時(shí)，受重力、支持力和彈簧的彈力，根據(jù)平衡條件，有：
mgsinα=k?△x
解得：△x=

mgsinα

k

故彈簧的長(zhǎng)度為L(zhǎng)+

mgsinα

k

；
（2）物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為：
A=△x+

1

4

L=

mgsinα

k

+

L

4

；
（3）物體到達(dá)平衡位置下方x位置時(shí)，彈力為：k（x+△x）=k（x+

mgsinα

k

）；
故合力為：F=mgsinα-k（x+

mgsinα

k

）=-kx；
故物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；
答：（1）物塊處于平衡位置時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為L(zhǎng)+

mgsinα

k

；
（2）物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅是

mgsinα

k

+

L

4

；
（3）證明如上．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是對(duì)滑塊受力分析，利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性求解彈簧最大伸長(zhǎng)量，明確簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件是回復(fù)力滿足：F=-kx．