Question

如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.15T、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在半徑R=0.10m的圓形區(qū)域內(nèi)，圓的左端跟y軸相切于直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O，右端跟很大的熒光屏MN相切于x軸上的A點(diǎn)．置于原點(diǎn)的粒子源可沿x軸正方向以一定的速度v₀射出帶正電的粒子流，粒子的重力不計(jì)，比荷q/m=1.0×10⁸C/kg．
（1）要使粒子能打在熒光屏上，粒子流的速度v₀應(yīng)為多少？
（2）若粒子流的速度v₀=3.0×10⁶m/s，且以過(guò)O點(diǎn)并垂直于紙面的直線為軸，將圓形磁場(chǎng)逆時(shí)針緩慢旋轉(zhuǎn)90°，求此過(guò)程中粒子打在熒光屏上離A的最遠(yuǎn)距離．

Answer 1

分析：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后由洛倫茲力提供向心力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要使粒子能打在熒光屏上，粒子速度的偏向角應(yīng)大于90°，當(dāng)粒子恰好不打到熒光屏上時(shí)，粒子從磁場(chǎng)的最高點(diǎn)射出磁場(chǎng)，畫(huà)出軌跡，由幾何知識(shí)求出半徑，由牛頓第二定律求出此時(shí)速度，即可速度v₀應(yīng)滿足的條件．
（2）若粒子流的速度v₀=3.0×10⁶m/s，由牛頓第二定律求出粒子軌跡的半徑．當(dāng)圓形磁場(chǎng)區(qū)域轉(zhuǎn)過(guò)90°時(shí)，磁場(chǎng)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)情況不變，根據(jù)作圖分析P點(diǎn)為最高點(diǎn)的位置，由數(shù)學(xué)知識(shí)求出粒子打在熒光屏上離A的最遠(yuǎn)距離．

解答：解：（1）設(shè)當(dāng)粒子流的速度v₀=v₁時(shí)，粒子恰好打不到熒光屏上，則這時(shí)粒子從磁場(chǎng)的最高點(diǎn)a豎直向上射出磁場(chǎng)，如圖所示，由圖可知，在磁場(chǎng)中的軌道半徑為 r₁=R．①
又由洛倫茲力充當(dāng)向心力，則有
   qv₁B=m

v 2 1

r1

 ②
由①②式解得 v1=

qBR

m

=1.5×10⁶m/s
由題意分析可知，當(dāng)v₀＞v₁時(shí)，即v₀＞1.5×10⁶m/s時(shí)粒子能打在熒光屏上．
（2）若粒子流的速度v₀=3.0×10⁶m/s時(shí)，設(shè)粒子在磁場(chǎng)中軌道半徑為r₂，則有
   qv₂B=m

v 2 0

r2

解得，r₂=0.2m=2R．
假設(shè)磁場(chǎng)無(wú)限大，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡是就是以E為圓心、r₂=0.2m為半徑的一段圓�。�作圖得到熒光屏上最高點(diǎn)位置：如圖所示，若以O(shè)為圓心、OA為半徑作出圓孤AE交y軸于E點(diǎn)，以E為圓心、EO為半徑作粒子運(yùn)動(dòng)軌跡交AE孤于B點(diǎn)，連接CB并延長(zhǎng)交屏于P點(diǎn)，P點(diǎn)即為粒子到達(dá)的最高點(diǎn)．
由sinα=

R

r2

，得α=30°
AC=AO-OC=2R-r₂tanα
則y_m=PA=ACtan2α
聯(lián)立解得，y_m=0.15m
答：（1）要使粒子能打在熒光屏上，粒子流的速度v₀應(yīng)為1.5×10⁶m/s．
（2）粒子打在熒光屏上離A的最遠(yuǎn)距離是0.15m．

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)解題常用的程序是：
1、畫(huà)軌跡：確定圓心，幾何方法求半徑并畫(huà)出軌跡．
2、找關(guān)系：軌跡半徑與磁感應(yīng)強(qiáng)度、速度聯(lián)系；偏轉(zhuǎn)角度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間相聯(lián)系，時(shí)間與周期聯(lián)系．
3、用規(guī)律：牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律．