Question

一個(gè)長為，寬為，質(zhì)量為的矩形導(dǎo)電線框，由質(zhì)量均勻分布的剛性桿構(gòu)成，靜止放置在不導(dǎo)電的水平桌面上，可繞與線框的一條邊重合的光滑固定軸ab轉(zhuǎn)動(dòng)，在此邊中串接一能輸出可變電流的電流源（圖中未畫出）。線框處在勻強(qiáng)磁場中，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿水平方向且與轉(zhuǎn)軸垂直，俯視圖如圖預(yù)19-6所示。現(xiàn)讓電流從零逐漸增大，當(dāng)電流大于某一最小值時(shí)，線框?qū)⒏淖冹o止?fàn)顟B(tài)。

（1）求電流值。

（2）當(dāng)線框改變靜止?fàn)顟B(tài)后，設(shè)該電流源具有始終保持恒定電流值不變（）的功能。已知在線框運(yùn)動(dòng)過程中存在空氣阻力。試分析線框的運(yùn)動(dòng)狀況。

Answer 1

（1）解法一：

導(dǎo)體線框放在水平桌面上，俯視圖如圖預(yù)解19-6-1。由圖可見，在線框沒動(dòng)之前，線框的邊與邊平行于磁場，因而不受磁場力。邊受的安培力的大小為，方向垂直于桌面向下，但此力對(duì)軸的力矩為零。邊受的安培力的大小為，方向垂直桌面向上。此力對(duì)固定軸的力矩為

                               ①

除此力矩外，線框還受到重力矩作用。重力力矩等于重力乘線框重心（點(diǎn)）到軸ab的距離，即

                                                         ②

當(dāng)＝時(shí)，桌面對(duì)線框的支持力的力矩為零，＞時(shí)，線框?qū)⒏淖冹o止?fàn)顟B(tài)，開始繞軸ab向上翹起。根據(jù)題意及①、②式，由力矩平衡原理可知

                                                     ③

解得

                                                            ④

解法二：

線框所受的重力矩也可以由各邊對(duì)ab軸的重力矩來求。邊與邊的重心均在（）處，兩條邊對(duì)ab軸的合力矩為

                                              

邊對(duì)ab軸的力矩為

                                                   

故線框所受的重力矩為

         

與解法一求得的②式一致，從而求得與④式相同。

（2）線框處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，若電流比稍大，線框所受的電磁力矩將大于重力矩，使線框繞ab軸向上翹起。邊和邊所受電磁力不等于零，但二者相互抵消。當(dāng)保持電流值恒定不變時(shí)，線框?qū)�從靜止?fàn)顟B(tài)開始繞固定軸作加速轉(zhuǎn)動(dòng)。在加速轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，由于通過線框的磁通量發(fā)生變化，線框內(nèi)將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢，它有使線框中的電流變小的趨勢，題中已設(shè)電流源有保持電流恒定不變的功能，所以當(dāng)線框平面轉(zhuǎn)至與桌面成角時(shí)，如圖預(yù)解19-6-2a所示，線框受到的合力矩為

                                         ⑤

隨著角逐漸增大，合力矩隨之減小，但始終大于零，因而線框仍作逆時(shí)針加速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度不斷增大。當(dāng)線框平面轉(zhuǎn)到豎直面時(shí)，合力矩為零，角速度達(dá)到最大。由于慣性，線框?qū)⒃竭^面作逆時(shí)針轉(zhuǎn)到。此時(shí)，合力矩與線框轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反，角速度將逐漸減小，合力矩的大小隨著角的增大而增大，如圖預(yù)解19-6-2b所示。

如果沒有空氣阻力，將增至180°。當(dāng)角等于180° 時(shí)，線框轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為零，合力矩將使線框作順時(shí)針加速轉(zhuǎn)動(dòng)，結(jié)果線框?qū)⒃?sub>角等于0°與180°之間往復(fù)擺動(dòng)不止。實(shí)際上，由于空氣阻力作用，線框平面在平面兩側(cè)擺動(dòng)的幅度將逐漸變小，最終靜止在面處，此時(shí)，電磁力矩與重力矩均為零。如果線框稍偏離平衡位置，電磁力矩與重力矩的合力矩將使線框回到平面處。故線框處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)。

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分。第一問6分、第二問14分。

第一問中，①、②、④式各2分。

第二問中，正確地分析了線框往復(fù)轉(zhuǎn)動(dòng)，給4分；說明最后平衡在豎直面處，給6分；說明穩(wěn)定平衡，給4分。