Question

經(jīng)過用天文望遠(yuǎn)鏡長期觀測，人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質(zhì)的存在形勢和分布情況有了較深刻的認(rèn)識。雙星系統(tǒng)由兩個(gè)星體構(gòu)成，其中每個(gè)星體的線度都遠(yuǎn)小于兩星體之間的距離。一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)處理。

現(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是，兩者相距。他們正繞兩者連線的中點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)。
    1. 試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期。
    2. 若實(shí)驗(yàn)上觀測到的運(yùn)動(dòng)周期為，且。為了解釋與的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測不到的暗物質(zhì)。作為一種簡化模型，我們假定在這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質(zhì)，而不考慮其它暗物質(zhì)的影響。試根據(jù)這一模型和上述觀測結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度。

Answer 1

1．雙星均繞它們的連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)速率為，向心加速度滿足下面的方程：

                                                 （1）

                                                      （2）

周期

                                           （3）

2．根據(jù)觀測結(jié)果，星體的運(yùn)動(dòng)周期

                                               （4）

這說明雙星系統(tǒng)中受到的向心力大于本身的引力，故它一定還受到其他指向中心的作用力，按題意這一作用來源于均勻分布的暗物質(zhì)，均勻分布在球體內(nèi)的暗物質(zhì)對雙星系統(tǒng)的作用與一質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量位于中點(diǎn)處的質(zhì)量點(diǎn)相同．考慮暗物質(zhì)作用后雙星的速度即為觀察到的速度，則有

                                           （5）      

                                                 （6）

因?yàn)樵谲壍酪欢〞r(shí)，周期和速度成反比，由（4）式得

                                                    （7）

把（2）、（6）式代入（7）式得

                                                      （8）

設(shè)所求暗物質(zhì)的密度為，則有

           

故

                                                      （9）