Question

【題目】某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖所示的游樂模型，高度為R的豎直圓筒軌道銜接一個(gè)半徑為2R的四分之一圓形內(nèi)軌，在圓筒的底部安裝一個(gè)由高強(qiáng)度彈簧構(gòu)成的彈射裝置，此裝置在很短的時(shí)間內(nèi)能把安全囊(包括在里面的游人)以一定的速度彈出，使安全囊從圓內(nèi)軌的最高點(diǎn)P水平飛出，接著飛入如圖所示的緩沖裝置。安全囊質(zhì)量為m(當(dāng)作質(zhì)點(diǎn))，緩沖裝置的縱截面可以看作由兩個(gè)斜面AB、CD和一段光滑圓弧BC組成，安全囊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.25，兩斜面的傾角θ均為37°，AB＝CD＝2R，A、D等高，D端固定一小擋板，與其碰撞不損失機(jī)械能。安全囊始終在同一個(gè)豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g，圓筒軌道和圓形內(nèi)軌均不計(jì)摩擦，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。

(1)如果安全囊恰好能經(jīng)P點(diǎn)飛出，且恰好沿AB斜面進(jìn)入緩沖裝置，應(yīng)調(diào)節(jié)緩沖裝置底部支架高度使斜面的A點(diǎn)（D點(diǎn)）距地面的高度為多少？

(2)接(1)問，假設(shè)高強(qiáng)度彈簧構(gòu)成的彈射裝置行程很小，可以認(rèn)為是零，即安全囊離開地面時(shí)的起點(diǎn)高度近似為零，則彈射裝置至少需要具有多少彈性勢能？

(3)接(1)問，試通過計(jì)算描述安全囊進(jìn)入緩沖裝置后的運(yùn)動(dòng)過程．

Answer 1

【答案】(1)R　(2)4mgR　(3)略

【解析】（1）在P點(diǎn)安全囊只受到重力的作用，重力恰好提供向心力，則：

得P點(diǎn)的速度：
安全囊到達(dá)A時(shí)速度的方向沿沿AB的方向，則：vy＝vptanθ＝0.75
所以A、D點(diǎn)距離對(duì)面的高度：；
（2）在P點(diǎn)安全囊的機(jī)械能為：E=EP+EK=mvP2+mg3R=4mgR
由機(jī)械能守恒定律即知彈簧的彈性勢能：E彈=4mgR

（3）在A點(diǎn)時(shí)安全囊的速度

假設(shè)經(jīng)過一個(gè)來回能夠回到A點(diǎn)，設(shè)再次回到A點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為E′k

則E′k＝mv2－μmgcos θ·8R<0

所以安全囊不會(huì)滑到A而飛出，最終在B、C間來回滑動(dòng)