Question

11．如圖所示，傳送帶的兩個(gè)輪子半徑均為r=0.2m，兩個(gè)輪子最高點(diǎn)A、B在同一水平面內(nèi)，A、B間距離L=5m，半徑R=0.4m的固定、豎直光滑圓軌道與傳送帶相切于B點(diǎn)，C點(diǎn)是圓軌道的最高點(diǎn)．質(zhì)量m=0.1kg的小煤塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)?=0.4．重力加速度g=10m/s²．求：
（1）傳送帶靜止不動(dòng)，小煤塊以水平速度v₀滑上傳送帶，并能夠運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，v₀至少多大？
（2）當(dāng)傳送帶的輪子勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度在什么范圍內(nèi)時(shí)，將小煤塊無(wú)初速地放到傳送帶上的A點(diǎn)，小煤塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌道的壓力最大，最大壓力F_c是多大．
（3）當(dāng)傳送帶的輪子以ω=10rad/s的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，將小煤塊無(wú)初速地放到傳送帶上的A點(diǎn)，求小煤塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程中在傳送帶上劃下的第二條痕跡的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）在C點(diǎn)由牛頓第二定律求出臨界速度，根據(jù)動(dòng)能定理求解．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出對(duì)應(yīng)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度，再牛頓第二定律求解．
（3）分析滑塊的運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解．

解答 解：（1）設(shè)小滑塊能夠運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，在C點(diǎn)的速度至少為v_c，則
mg=m$\frac{{{v}_{c}}^{2}}{R}$
v_c=2m/s
A到C過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理：-μmgL-mg2R=$\frac{1}{2}$mv_c²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：v₀=2$\sqrt{15}$m/s
（2）輪子轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度越大，即傳送帶運(yùn)動(dòng)的速度越大，小滑塊在傳送帶上加速的時(shí)間越長(zhǎng)，達(dá)到B點(diǎn)的速度越大，到C點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌道的壓力就越大．
小滑塊在傳送帶上一直加速，達(dá)到B點(diǎn)的速度最大，設(shè)為v_Bm，對(duì)應(yīng)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度為v_cm，圓軌道對(duì)小滑塊的作用力為F，則
${v}_{Bm}{\;}^{2}$=2aL   a=μg
-=-2mgR
mg+F=m$\frac{{{v}_{cm}}^{2}}{R}$
F_m=F
解得F_m=5N
根據(jù)牛頓第三定律F_m′=F_m=5N
（3）由v=ωr知，傳送帶以v=2m/s的速度勻速向右運(yùn)動(dòng)．由上分析可知，小煤塊從A點(diǎn)開(kāi)始先勻加速然后勻速，
根據(jù)$\frac{1}{2}$mv²=mgh   h=0.2m＜0.4m
則小煤塊不會(huì)脫離圓軌道，而是沿圓軌道返回
即小煤塊以v=2m/s的速度向左滑上傳送帶，開(kāi)始滑下第二條痕跡．
小煤塊先向左勻減速到0
由v=at₁  則t₁=0.5s  x₁=$\frac{1}{2}$at₁²=0.5m
同時(shí)傳送帶向右勻速x₁′=vt₁=1m
相對(duì)位移△x₁=x₁+x₁′=1.5m
小煤塊再向右勻加速到v=2m/s
由v=at₂  t₂=0.5s  x₂=$\frac{1}{2}$at₂²=0.5m
同時(shí)傳送帶仍向右勻速有x₂′=vt₂=1m
相對(duì)位移△x₂=x₂′-x₂=0.5m
第二條痕跡的長(zhǎng)度△x=△x₁+△x₂=2m
答：（1）傳送帶靜止不動(dòng)，小煤塊以水平速度v₀滑上傳送帶，并能夠運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，v₀至少2$\sqrt{15}$m/s；
（2）當(dāng)傳送帶的輪子勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度在什么范圍內(nèi)時(shí)，將小煤塊無(wú)初速地放到傳送帶上的A點(diǎn)，小煤塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌道的壓力最大，最大壓力F_c是5N．
（3）當(dāng)傳送帶的輪子以ω=10rad/s的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，將小煤塊無(wú)初速地放到傳送帶上的A點(diǎn)，小煤塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程中在傳送帶上劃下的第二條痕跡的長(zhǎng)度2.0m．

點(diǎn)評(píng) 解決該題關(guān)鍵要掌握牛頓第二定律，運(yùn)動(dòng)學(xué)公式以及動(dòng)能定理的應(yīng)用．