Question

在“極限”運(yùn)動會中，有一個在鋼索橋上的比賽項目．如圖所示，總長為L的均勻粗鋼絲繩固定在等高的A、B處，鋼絲繩最低點與固定點A、B的高度差為H，動滑輪起點在A處，并可沿鋼絲繩滑動，鋼絲繩最低點距離水面也為H．若質(zhì)量為m的人抓住滑輪下方的掛鉤由A點靜止滑下，最遠(yuǎn)能到達(dá)右側(cè)C點，C、B間鋼絲繩相距為L′=

L

10

，高度差為h=

H

3

．若參賽者在運(yùn)動過程中始終處于豎直狀態(tài)，抓住滑輪的手與腳底之間的距離也為h，滑輪與鋼絲繩間的摩擦力大小視為不變，且摩擦力所做功與滑過的路程成正比，不計參賽者在運(yùn)動中受到的阻力、滑輪（含掛鉤）的質(zhì)量和大小，不考慮鋼索橋的擺動及形變．

（1）滑輪與鋼絲繩間的摩擦力是多大？
（2）若參賽者不依靠外界幫助要到達(dá)B點，則人在A點處抓住掛鉤時至少應(yīng)該具有多大的初動能？
（3）比賽規(guī)定參賽者須在鋼絲繩最低點脫鉤并到達(dá)與鋼絲繩最低點水平相距為4a、寬度為a，厚度不計的海綿墊子上．若參賽者由A點靜止滑下，會落在海綿墊子左側(cè)的水中．為了能落到海綿墊子上，參賽者在A點抓住掛鉤時應(yīng)具有初動能的范圍？

Answer 1

分析：（1）從A點靜止滑下，最遠(yuǎn)能滑到C點，可知C點的速度為0．對A到C過程運(yùn)用動能定理，有重力做功，摩擦力做功，動能的變化為0，求出摩擦力．
（2）對A到B運(yùn)用動能定理，重力不做功，摩擦力做負(fù)功，根據(jù)動能定理求出初動能．
（3）參賽者在鋼絲繩最低點脫鉤后，做平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的水平位移4a≤x≤5a，求出最低點的速度范圍，然后對A到最低點運(yùn)用動能定理，求出在A點初動能的范圍．

解答：解：（1）根據(jù)動能定理，參賽者在A到C的過程中滿足mgh-F_f（L-L'）=0
將L′=

L

10

，h=

H

3

代入，
可得滑輪與鋼絲繩間的摩擦力Ff=

10mgH

27L

①
（2）根據(jù)動能定理，參賽者在A到B的過程中滿足-F_fL=0-E_k0
將①式代入，得Ek0=

10

27

mgH②
（3）參賽者落到海綿墊的過程是平拋運(yùn)動．設(shè)人脫離鋼索時的速度為v，運(yùn)動的水平位移為s，則s=vt③，(H-h)=

1

2

gt2④
由題知，s=4a時，參賽者具有的最小速度為vmin=

2a

H

3gH

⑤
s=5a時，參賽者具有的最大速度為vmax=

5a

2H

3gH

⑥
設(shè)參賽者在A點抓住掛鉤的初動能為E_k．由動能定理，參賽者在A到鋼索最低點運(yùn)動過程中滿足 mgH-Ff

L

2

=

1

2

mv2-Ek⑦
由此可得，參賽者在A點抓住掛鉤的最小和最大初動能分別為Emin=

6mga2

H

-

22

27

mgH，Emax=

75mga2

8H

-

22

27

mgH
即初動能范圍為

6mga2

H

-

22

27

mgH≤E≤

75mga2

8H

-

22

27

mgH⑧

點評：解決本題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇研究過程，根據(jù)動能定理W_合=△E_K進(jìn)行求解．