Question

13．如圖所示，一質(zhì)量不計(jì)的細(xì)線跨過(guò)無(wú)摩擦的輕質(zhì)小定滑輪O，一端與質(zhì)量為m的重物相連，圓環(huán)套在固定的、光滑的豎直桿上，另一端與質(zhì)量為4m的重物相連，豎直桿上有A、B、C三點(diǎn)，且B為A、C的中點(diǎn)，AO與豎直桿的夾角θ=53°，B點(diǎn)與滑輪O在同一水平線上，滑輪與豎直桿相距為L(zhǎng)，重力加速度為g，設(shè)直桿和細(xì)線都足夠長(zhǎng)，圓環(huán)和重物運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)與其他物體相碰，現(xiàn)將圓環(huán)從A點(diǎn)無(wú)初速釋放（已知sin53°=0.8，cos53°=0.6），求：
（1）重物下降到最低點(diǎn)時(shí)圓環(huán)的速度大小v₁為多少？
（2）圓環(huán)下滑到C點(diǎn)時(shí)的速度大小v₁為多少？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，重物下降到最低點(diǎn)位置，則取環(huán)與重物作為系統(tǒng)，由于只有重力做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，因此根據(jù)機(jī)械能守恒定律可解出圓環(huán)的速度大�。�
當(dāng)圓環(huán)下滑到最大距離時(shí)，圓環(huán)與重物的速度均為零，再由機(jī)械能守恒定律，結(jié)合幾何關(guān)系可求出圓環(huán)下滑的最大距離；
（3）圓環(huán)下滑到C點(diǎn)時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系來(lái)確定變化的高度，再由機(jī)械能守恒定律，并結(jié)合運(yùn)動(dòng)的分解來(lái)確定圓環(huán)下滑到C點(diǎn)時(shí)的速度大小．

解答 解：（1）圓環(huán)到B點(diǎn)時(shí)，重物下降到最低點(diǎn)，此時(shí)重物速度為零．
根據(jù)幾何關(guān)系可知：圓環(huán)下降高度為：h_AC=$\frac{3}{4}$L，
重物下降的高度為：△h=$\frac{5}{4}$L-L=$\frac{1}{4}$L
系統(tǒng)只有重力做功，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則有：mgh_AC+4mg△h=$\frac{1}{2}$mv₁²
由上可解得：圓環(huán)的速度為：v₁=$\sqrt{\frac{7gL}{2}}$，
（2）圓環(huán)到C點(diǎn)時(shí)，下落高度h_AB=$\frac{3L}{2}$，重物高度不變，設(shè)圓環(huán)速度為v₂，此時(shí)重物速度為v₂cos53°．
系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則有：mgh_AB=$\frac{1}{2}$mv₂²+$\frac{1}{2}$×4m（v₂cos53°）²
解得：v₂=$\sqrt{\frac{75gL}{61}}$，
答：（1）重物下降到最低點(diǎn)時(shí)圓環(huán)的速度大小是$\sqrt{\frac{7gL}{2}}$
（2）圓環(huán)下滑到C點(diǎn)時(shí)的速度大小v₁為$\sqrt{\frac{75gL}{61}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題多次運(yùn)用幾何關(guān)系及機(jī)械能守恒定律，定律的表達(dá)式除題中變化的動(dòng)能等于變化的重力勢(shì)能外，還可以寫(xiě)成圓環(huán)的變化的機(jī)械能等于重物的變化的機(jī)械能．同時(shí)關(guān)注題中隱含條件的挖掘：重物下降到最低點(diǎn)的同時(shí)其速度等于零．