Question

7．如圖所示，aa′、bb′、cc′、dd′為四條平行金屬軌道，都處在水平面內(nèi)，aa′、dd′間距2L，bb′、cc′間距L．磁感應(yīng)強(qiáng)度B的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于紙面向里，邊界與軌道垂直．a(chǎn)b、cd兩段軌道在磁場(chǎng)區(qū)域正中間，到磁場(chǎng)左右邊界距離均為s．軌道電阻不計(jì)且光滑，在a′d′之間接一阻值R的定值電阻．現(xiàn)用水平向右的力拉著質(zhì)量為m、總電阻r=2R，長(zhǎng)為2L的規(guī)則均勻金屬桿從磁場(chǎng)左側(cè)某處由靜止開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)，使金屬桿以速度v勻速通過(guò)磁場(chǎng)．已知金屬桿的電阻與其長(zhǎng)度成正比，金屬桿與軌道接觸良好，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不轉(zhuǎn)動(dòng)，忽略與ab、cd重合的短暫時(shí)間內(nèi)速度的變化．試求：
（1）金屬桿在ab、cd兩段軌道左右兩側(cè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)拉力F之比．
（2）通過(guò)磁場(chǎng)過(guò)程中，整個(gè)回路放出的總熱量．

Answer 1

分析 （1）由于導(dǎo)軌的寬度發(fā)生變化，因此導(dǎo)體棒所受安培力將發(fā)生變化，分別寫(xiě)出表達(dá)式，即可求出比值；
（2）導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)安培力等于力F求出導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的初速度，然后根據(jù)功能關(guān)系即可求出整個(gè)過(guò)程中回路產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）當(dāng)金屬桿在ab、cd左側(cè)時(shí)，安培力：${F_{A1}}=\frac{{{B^2}{{（2L）}^2}v}}{R+r}$=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}v}{3R}$
當(dāng)金屬桿在ab、cd右側(cè)時(shí)，安培力：${F_{A2}}=\frac{{{B^2}{L^2}v}}{{R+\frac{r}{2}}}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$
所以：$\frac{{F}_{A1}}{{F}_{A2}}=\frac{8}{3}$．
（2）當(dāng)金屬桿在ab、cd左側(cè)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，${F}_{{A}_{1}}=\frac{4{B}^{2}{L}^{2}v}{3R}$；當(dāng)金屬桿在ab、cd右側(cè)時(shí)，${F}_{A2}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$
根據(jù)功能關(guān)系可知，拉力做的功轉(zhuǎn)化為電能，并轉(zhuǎn)化為焦耳熱，所以：
Q=F_A1•s+F_A2•s
解得：Q=$\frac{11{B}^{2}{L}^{2}vs}{6R}$．
答：（1）金屬桿在ab、cd兩段軌道左右兩側(cè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)拉力F之比是$\frac{8}{3}$．
（2）通過(guò)磁場(chǎng)過(guò)程中，整個(gè)回路放出的總熱量是$\frac{11{B}^{2}{L}^{2}vs}{6R}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)在于正確分析安培力的變化，根據(jù)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)列出方程，同時(shí)注意克服安培力所做功等于整個(gè)回路中產(chǎn)生的熱量．