Question

如圖所示，半徑為R的光滑圓軌道豎直放置，長(zhǎng)為2R的輕質(zhì)桿兩端各固定一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A、B，把輕桿水平放入圓形軌道內(nèi)，若m，2m，m₀，m，重力加速度為g，現(xiàn)由靜止釋放兩球，當(dāng)輕桿到達(dá)豎直位置時(shí)，求：
（1）A、B兩球的速度大�。�
（2）A球?qū)�軌道的壓力�?br />（3）要使輕桿到達(dá)豎直位置時(shí)，輕桿上剛好無(wú)彈力，A、B兩球的質(zhì)量應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）兩球運(yùn)動(dòng)的速度相等；而小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律可求得兩球的速度大小；
（2）小球做圓周運(yùn)動(dòng)，由合外力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律可求得A球?qū)�軌道的壓力�?br />（3）若要使輕桿上剛好沒有壓力，則重力恰好充當(dāng)向心力，再由機(jī)械能守恒定律可求得AB兩球的質(zhì)量關(guān)系．

解答：解：
（1）設(shè)桿運(yùn)動(dòng)到豎直位置時(shí)，A、B兩球的速度均為v₁ 
對(duì)AB系統(tǒng)機(jī)械能守恒：m_AgR-m_BgR=

1

2

（m_A+m_B）v₁²
解得：v₁=

2 3 gR

    
（2）在豎直位置時(shí)，設(shè)桿對(duì)B球的強(qiáng)力為F_NB，軌道對(duì)A球的彈力為F_NA
對(duì)B球 m_Bg+F_ND=m_B

v 2 1

R

  
F_ND=

1

3

mg
∴桿對(duì)B球有向上的支持力，對(duì)A球有向下壓力
對(duì)A球：F_NA-m_Ag-

1

2

mg=m_A

v 2 1

R

解得：F_NA=

11

3

mg
由牛頓第三定律，知A球?qū)�軌道的壓力為F_N=

11

3

mg
（2）要使輕桿到達(dá)豎直位置時(shí)，桿上恰好無(wú)彈力作用B球需滿足
m_Bg=m_B

v 2 2

R

對(duì)AB系統(tǒng)機(jī)械能守恒 m_AgR-m_BgR=

1

2

（m_A-m_B）v₂²
解得m_A=3m_B；
答：（1）兩球速度均為

2 3 gR

；（2）A球?qū)�軌道的壓力�?span id="z8swkvx" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

11

3

mg；（3）AB兩球的質(zhì)量關(guān)系為m_A=3m_B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查機(jī)械能守恒定律及牛頓第二定律的應(yīng)用，要明確兩球的速度大小相等．