Question

如圖所示，半徑為R的半圓軌道BC豎直放置．一個(gè)質(zhì)量為m 的小球以某一初速度從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)AB段進(jìn)入半圓軌道，在B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為7mg，之后向上運(yùn)動(dòng)完成半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)恰好到達(dá)C點(diǎn)．試求：
（1）小球上升過程中克服阻力做功；
（2）小球從C點(diǎn)飛出后，觸地時(shí)重力的功率．

Answer 1

分析：（1）在B點(diǎn)，由軌道的支持力和重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出小球經(jīng)過B點(diǎn)的速度．小球恰好到達(dá)C點(diǎn)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出小球經(jīng)過C點(diǎn)的速度．對(duì)于小球上升過程中，根據(jù)動(dòng)能定理求解克服阻力做功；
（2）小球在C點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出小球落地時(shí)豎直分速度，觸地時(shí)重力的功率等于重力與豎直分速度的乘積．

解答：解：（1）在B點(diǎn)，由軌道的支持力和重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律得：
F_N-mg=m

v 2 B

R

由題意：F_N=7mg
解得：v_B=

6gR

在C點(diǎn)，由重力提供向心力，同理可得：
mg=m

v 2 C

R

   
解得：v_c=

gR

從B到C的過程，由動(dòng)能定理得：
W_f-2mgR=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 B

解得：W_f=-0.5mgR
故克服阻力做功為0.5mgR．
（2）小球在C點(diǎn)飛出后以v_C做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球落地時(shí)豎直分速度大小為v，則根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得：
 豎直方向有：v²=2g?2R
得：v=2

gR

所以小球觸地時(shí)重力的功率為：P=mgv=2mg

gR

答：（1）小球上升過程中克服阻力做功是0.5mgR；
（2）小球從C點(diǎn)飛出后，觸地時(shí)重力的功率是2mg

gR

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵先根據(jù)牛頓第二定律求解出B和C兩點(diǎn)速度，然后運(yùn)用動(dòng)能定理全程列式求解克服阻力做功．求重力的功率時(shí)要注意應(yīng)用豎直分速度．