Question

4．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種理想化的運(yùn)動(dòng)模型，是機(jī)械振動(dòng)中最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)．它具有如下特點(diǎn)：
1）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體受到回復(fù)力的作用，回復(fù)力的大小與物體偏離平衡位置的位移大小成正比、方向與位移方向相反，即：F_回=-kx，其中k為振動(dòng)系數(shù)，其值由振動(dòng)系統(tǒng)決定．
2）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種周期性運(yùn)動(dòng)，其周期與振動(dòng)物體的質(zhì)量的平方根成正比，與振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)系數(shù)的平方根成反比，而與振幅無(wú)關(guān)，即：T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$．
（1）如圖1所示，一光滑的水平桿，在桿上穿有兩輕質(zhì)彈簧，勁度系數(shù)分別為k₁、k₂，彈簧兩端固定于豎直墻上，中間系一質(zhì)量為m的金屬小球，此時(shí)兩彈簧均處于原長(zhǎng)，O為平衡位置．現(xiàn)將小球沿桿拉開(kāi)一段距離后松開(kāi)，小球以O(shè)為平衡位置做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．
a．寫(xiě)出小球偏離平衡位置的位移大小為x時(shí)合外力F_合的表達(dá)式；
b．寫(xiě)出小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T．
（2）一定質(zhì)量的理想氣體，在溫度保持不變的條件下，其壓強(qiáng)與體積的乘積保持不變，即：PV=P'V'（玻意爾-馬略特定律）．如圖2所示，一密閉長(zhǎng)方體容器，導(dǎo)熱性能良好，中間有一質(zhì)量為m的活塞，將容器分隔成體積相等的兩部分，且兩部分氣體完全相同，整個(gè)容器的溫度保持不變．已知?dú)怏w的壓強(qiáng)為P₀，活塞到兩端的距離均為L(zhǎng)，活塞的橫截面積為S，取向右為正方向．
a．現(xiàn)將活塞緩慢向右移到M位置，由靜止釋放，試求出活塞的位移為x時(shí)兩邊氣體的壓強(qiáng)P₁和P₂比值；
b．證明：在振幅A遠(yuǎn)小于L的條件下，活塞的運(yùn)動(dòng)可以看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．

Answer 1

分析 （1）a、根據(jù)胡克定律即可寫(xiě)出出小球偏離平衡位置的位移大小為x時(shí)合外力F_合的表達(dá)式；
b．根據(jù)小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期即可寫(xiě)出．
（2）a、由玻意爾定律分別寫(xiě)出兩部分氣體的壓強(qiáng)的表達(dá)式，然后即可求出；
b、求出活塞的受力與位移之間的關(guān)系公式，然后即可做出判斷．

解答 解：（1）a．由胡克定律可得，小球受到的合外力：F_合=-（k₁+k₂）x
b．彈簧中子振動(dòng)的周期公式與彈簧的勁度系數(shù)有關(guān)，公式為：T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{m}{{k}_{1}+{k}_{2}}}$
（2）a．對(duì)左邊氣體，由玻意爾定律得：P₀LS=P₁（L+x）S
所以：P₁=$\frac{L}{L+x}•{P}_{0}$
同理對(duì)右邊氣體，由玻-馬定律得：P₀LS=P₂（L-x）S
所以：P₂=$\frac{L}{L-x}•{P}_{0}$
所以：$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}$=$\frac{L-x}{L+x}$
b．活塞在運(yùn)動(dòng)到距離平衡位置的位移為x時(shí)，活塞受到的合力等于兩部分氣體壓力的差，即：
F_合=P₁S-P₂S
聯(lián)立得：F_合=$\frac{{P}_{0}SL}{L+x}$-$\frac{{P}_{0}SL}{L-x}$=$-\frac{2{P}_{0}SLx}{{L}^{2}-{x}^{2}}$
因?yàn)閤遠(yuǎn)小于L，所以：F_合=$-\frac{2{P}_{0}SLx}{{L}^{2}-{x}^{2}}$≈$-\frac{2{P}_{0}S}{L}•x$=-kx
其中k=$-\frac{2{P}_{0}S}{L}$為一定值，所以在A遠(yuǎn)小于L的條件下，活塞的運(yùn)動(dòng)可視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．
答：（1）a．小球偏離平衡位置的位移大小為x時(shí)合外力F_合的表達(dá)式為F_合=-（k₁+k₂）x；
b．小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{m}{{k}_{1}+{k}_{2}}}$．
（2）活塞的位移為x時(shí)兩邊氣體的壓強(qiáng)P₁和P₂比值為$\frac{L-x}{L+x}$；
b．證明見(jiàn)上．

點(diǎn)評(píng) 該題結(jié)合玻意爾定律考查簡(jiǎn)諧振動(dòng)的受力特點(diǎn)，解答的關(guān)鍵是正確理解活塞受到的合力等于兩部分氣體壓力的差．