Question

14．如圖所示，通過水平絕緣傳送帶輸送完全相同的正方形單匝銅線框，為了檢測(cè)出個(gè)別未閉合的不合格線框，讓線框隨傳送帶通過一固定勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域（磁場(chǎng)方向垂直于傳送帶平面向下），觀察線框進(jìn)入磁場(chǎng)后是否相對(duì)傳送帶滑動(dòng)就能夠檢測(cè)出未閉合的不合格線框．已知磁場(chǎng)邊界MN、PQ與傳送帶運(yùn)動(dòng)方向垂直，MN與PQ間的距離為d，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．各線框質(zhì)量均為m，電阻均為R，邊長(zhǎng)均為L(zhǎng)（L＜d）；傳送帶以恒定速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，線框與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g．線框在進(jìn)入磁場(chǎng)前與傳送帶的速度相同，且右側(cè)邊平行于MN減速進(jìn)入磁場(chǎng)，當(dāng)閉合線框的右側(cè)邊經(jīng)過邊界PQ時(shí)又恰好與傳送帶的速度相同．設(shè)傳送帶足夠長(zhǎng)，且在傳送帶上始終保持右側(cè)邊平行于磁場(chǎng)邊界．對(duì)于閉合線框，求：
（1）線框的右側(cè)邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)所受安培力的大小；
（2）線框在進(jìn)入磁場(chǎng)的過程中運(yùn)動(dòng)加速度的最大值以及速度的最小值；
（3）從線框右側(cè)邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)到穿出磁場(chǎng)后又相對(duì)傳送帶靜止的過程中，傳送帶對(duì)該閉合銅線框做的功．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律求出感應(yīng)電流，然后由安培力公式求出安培力．
（2）線框以速度v₀進(jìn)入磁場(chǎng)，在進(jìn)入磁場(chǎng)的過程中，受安培力而減速運(yùn)動(dòng)；進(jìn)入磁場(chǎng)后，在摩擦力作用下加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其右側(cè)邊到達(dá)PQ時(shí)速度又恰好等于v₀．可知線框在剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，所受安培力最大，加速度最大由牛頓第二定律求出加速度，由動(dòng)能定理求出速度的最小值．
（3）由功的計(jì)算公式求得線框受到的摩擦力做功，由動(dòng)能定理求出傳送帶對(duì)該閉合銅線框做的功．分段求解．

解答 解：（1）閉合銅線框右側(cè)邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv₀  
產(chǎn)生的電流為：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BL{v}_{0}}{R}$                               
右側(cè)邊所受安培力為：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$                       
（2）線框以速度v₀進(jìn)入磁場(chǎng)，在進(jìn)入磁場(chǎng)的過程中，受安培力而減速運(yùn)動(dòng)；進(jìn)入磁場(chǎng)后，在摩擦力作用下加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其右側(cè)邊到達(dá)PQ時(shí)速度又恰好等于v₀．因此，線框在剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，所受安培力最大，加速度最大，設(shè)為a_m；線框全部進(jìn)入磁場(chǎng)的瞬間速度最小，設(shè)此時(shí)線框的速度為v．
線框剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有：F-μmg=ma_m
解得：a_m=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{mR}$-μg                        
在線框完全進(jìn)入磁場(chǎng)又加速運(yùn)動(dòng)到達(dá)邊界PQ的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理有，得：
μmg（d-L）=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μg（d-L）}$                  
（3）線框從右側(cè)邊進(jìn)入磁場(chǎng)到運(yùn)動(dòng)至磁場(chǎng)邊界PQ的過程中，線框受到的摩擦力為：f₁=μmg
由功的公式為：W_f1=fd                                          
解得：W_f1=μmgd                                              
閉合線框出磁場(chǎng)與進(jìn)入磁場(chǎng)的受力情況相同，則完全出磁場(chǎng)的瞬間速度為v；在線框完全出磁場(chǎng)后到加速至與傳送帶速度相同的過程中，設(shè)其位移x
由動(dòng)能定理有：μmgx=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：x=d-L
閉合線框在右側(cè)邊出磁場(chǎng)到與傳送帶共速的過程中位移為：x′=x+L=d
在此過程中摩擦力做功為：W_f2=μmgd                              
因此，閉合銅線框從剛進(jìn)入磁場(chǎng)到穿出磁場(chǎng)后又相對(duì)傳送帶靜止的過程中，傳送帶對(duì)閉合銅線框做的功為：W=W_f1+W_f2=2μmd      
答：（1）線框的右側(cè)邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)所受安培力的大小是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$；
（2）線框在進(jìn)入磁場(chǎng)的過程中運(yùn)動(dòng)加速度的最大值是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{mR}$-μg，速度的最小值是$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μg（d-L）}$；
（3）從線框右側(cè)邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)到穿出磁場(chǎng)后又相對(duì)傳送帶靜止的過程中，傳送帶對(duì)該閉合銅線框做的功是2μmgd．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)相結(jié)合的一道綜合題，分析清楚運(yùn)動(dòng)過程是正確解題的前提與關(guān)鍵，分析清楚運(yùn)動(dòng)過程、應(yīng)用安培力公式、牛頓第二定律、動(dòng)能定理、功的計(jì)算公式即可正確解題．