Question

12．如圖所示，有一個光滑的圓錐體固定在水平面上，在其頂點系一根長為L的細(xì)線，另一端拴一小物體A，使它剛好能貼著圓錐面做勻速圓周運動（即圓錐體對A無作用力），當(dāng)運動到圖中位置時，從圓錐的頂點O自由釋放另一小物體B，使它沿著跟OC對稱的另一條母線OD下滑．若圓錐體母線與軸線（OP）間夾角為θ，（設(shè)細(xì)線不干擾物體B的運動）求：
（1）物體A運動的角速度大小
（2）物體B沿母線下滑L距離所需時間
（3）要使物體A能夠與物體B相碰，圓錐體母線與軸線（OP）間夾角θ應(yīng)為多大？（可用三角函數(shù)表示）

Answer 1

分析 （1）對物體受力分析，根據(jù)徑向的合力提供向心力，通過牛頓第二定律求出物體A運動的角速度大�。�
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出物體B的加速度，根據(jù)位移時間公式求出物體B的運動時間．
（3）要使物體A能夠與物體B相碰，B的運動時間等于半個A的周期的奇數(shù)倍．

解答 解：（1）球A剛好能貼著圓錐面勻速圓周運動，則球A受力如圖所示，
則mgtanθ=mLsinθω²，
解得$ω=\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$．
（2）物體B沿母線向下做勻加速直線運動，加速度a=gcosθ
則$\frac{1}{2}gcosθ{t}^{2}=L$
解得t=$\sqrt{\frac{2L}{gcosθ}}$．
（3）要使二者相碰，則需滿足t=$（n+\frac{1}{2}）\frac{2π}{ω}$，（n=0、1、2、3…）
即$\sqrt{\frac{2L}{gcosθ}}=（n+\frac{1}{2}）\frac{2π}{ω}$，
解得cosθ=$\frac{L{ω}^{2}}{2{π}^{2}g（n+\frac{1}{2}）^{2}}$．（n=0、1、2、3…）
 答：（1）物體A運動的角速度大小為$\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$．
（2）物體B沿母線下滑L距離所需時間為$\sqrt{\frac{2L}{gcosθ}}$．
（3）要使物體A能夠與物體B相碰，圓錐體母線與軸線（OP）間夾角θ的余弦為$\frac{L{ω}^{2}}{2{π}^{2}g（n+\frac{1}{2}）^{2}}$．（n=0、1、2、3…）．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道圓周運動向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律進行求解，注意圓周運動的周期性．