Question

中國(guó)計(jì)劃在2017年實(shí)現(xiàn)返回式月球軟著陸器對(duì)月球進(jìn)行科學(xué)探測(cè)，如圖所示，屆時(shí)發(fā)射一顆運(yùn)動(dòng)半徑為r的繞月衛(wèi)星，登月著陸器從繞月衛(wèi)星出發(fā)，沿橢圓軌道降落到月球的表面上，與月球表面經(jīng)多次碰撞和彈跳才停下來(lái)，假設(shè)著陸器第一次彈起的最大高度為h，水平速度為v₁，第二次著陸時(shí)速度為v₂，已知月球半徑為R，著陸器質(zhì)量為m，不計(jì)一切阻力和月球的自轉(zhuǎn)．求：
（1）月球表面的重力加速度g月．
（2）在月球表面發(fā)射一顆月球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度是多大？
（3）設(shè)想軟著陸器完成了對(duì)月球的科學(xué)考察任務(wù)后，再返回繞月衛(wèi)星，返回與衛(wèi)星對(duì)接時(shí)，二者具有相同的速度，著陸器在返回過(guò)程中需克服月球引力做功W=mg月(1-

R

r

)，則著陸器的發(fā)動(dòng)機(jī)應(yīng)對(duì)著陸器做多少功，才能使著陸器安全返回到繞月衛(wèi)星．

Answer 1

分析：（1）著陸器在從高度為h到第二次著陸的過(guò)程中機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出月球表面的重力加速度．
（2）當(dāng)衛(wèi)星貼近月球表面飛行時(shí)，此時(shí)的發(fā)射速度最小，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，求出最小的發(fā)射速度．
（3）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力求出衛(wèi)星在半徑為r的軌道上的速度，再通過(guò)能量守恒定律求出著陸器的發(fā)動(dòng)機(jī)應(yīng)對(duì)著陸器做功的大�。�

解答：解：（1）著陸器從高度為h到第二次著陸，由機(jī)械能守恒有：mg月h+

1

2

mv12=

1

2

mv22
得出月球表面的重力加速度為：g月=

v22-v12

2h

----------①
（2）當(dāng)衛(wèi)星的軌道半徑為月球半徑R時(shí)，發(fā)射速度最小，
設(shè)最小速度為v，由萬(wàn)有引力提供向心力有：m衛(wèi)g月=

m衛(wèi)v2

R

------------②
由①②式可得出：v=

(V22-V12)R 2h

-------------③
（3）著陸器與衛(wèi)星的對(duì)接速度為V₃，對(duì)繞月衛(wèi)星由牛頓定律有：

GM月m衛(wèi)′

r2

=

m衛(wèi)′v32

r

--------------④
又在月球表面有：

GM月m

R2

=mg月---------------------⑤
著陸器與衛(wèi)星的對(duì)接時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)著陸器所做的功E，由能量守恒有：E=W+

1

2

mV32=mg月(1-

R

r

)+

1

2

mV32------⑥
聯(lián)立①④⑤⑥得出：E=mg月(1+

R2-2R

2r

)=m

v 2 2 - v 2 1

2h

(1+

R2-2R

2r

)
答：（1）月球表面的重力加速度g月=

v22-v12

2h

．
（2）在月球表面發(fā)射一顆月球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度是v=

(V22-V12)R 2h

．
（3）著陸器的發(fā)動(dòng)機(jī)應(yīng)對(duì)著陸器做功為m

v 2 2 - v 2 1

2h

(1+

R2-2R

2r

)，才能使著陸器安全返回到繞月衛(wèi)星．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力這兩個(gè)理論，以及機(jī)械能守恒定律、能量守恒定律等，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，需加強(qiáng)訓(xùn)練．